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高中数学必修三教案,高中数学必修1-5教案,高中数学必修2教案ppt,高中数学必修5教案doc

发布时间:2014-10-05 来源:二分pk10技巧

第一篇:高中数学必修三教案

高中数学教案(人教 A 版必修全套) 【必修 3 教案|全套】 目 录 第一章 算法初步 ................................................................................................................................................... 1 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 ....................................................................................................... 7 1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句 ..................................................................................................... 29 1.2.2 条件语句 ............................................................................................................................................. 36 1.2.3 循环语句 ................................................................................................................................................ 44 1.3 算法案例 ................................................................................................................................................ 51 第二章 统计 ......................................................................................................................................................... 75 2.1 随机抽样 ................................................................................................................................................ 76 2.1.1 简单随机抽样 ..................................................................................................................................... 76 2.1.2 系统抽样 ............................................................................................................................................. 81 2.1.3 分层抽样 ............................................................................................................................................. 85 2.2 用样本估计总体 .................................................................................................................................... 89 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 ..................................................................................................... 89 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征.......................................................................................... 97 2.3 变量间的相关关系 .............................................................................................................................. 107 2.3.1 变量之间的相关关系 ....................................................................................................................... 107 2.3.2 两个变量的线性相关 ....................................................................................................................... 107 第三章 概率 ........................................................................................................................................................115 3.1 随机事件的概率 ...................................................................................................................................115 3.1.1 随机事件的概率 ................................................................................................................................115 3.1.2 概率的意义 ........................................................................................................................................118 3.1.3 概率的基本性质 ............................................................................................................................... 121 3.2.1 古典概型 ........................................................................................................................................... 124 3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生............................................................................. 128 3.3.1 几何概型 ........................................................................................................................................... 132 3.3.2 均匀随机数的产生 ........................................................................................................................... 136 第一章 算法初步 本章教材分析 算法是数学及其应用的重要组成部分, 是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面. 学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思 想,激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力,增强进行实践的能力等,都有很大的帮助. 本章主要内容:算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手,通 过研究程序框图与算法案例,使算法得到充分的应用,同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关 系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性,也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步 受到数学思想方法的熏陶,激发学生的学习热情. 在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活,从生活中学习数学,使数学在社会生活中得到应用 和提高,让学生体会到数学是有用的,从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点. 本章还是数学思想方法的载体,学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”,从而提高自己数学 能力.因此应从三个方面把握本章:

(1)知识间的联系; (2)数学思想方法; (3)认知规律. 本章教学时间约需 12 课时,具体分配如下(仅供参考) : 1.1.2 1.2.1 1.1.1 算法的概念 程序框图与算法的基本逻辑结构 输入语句、输出语句和赋值语句 1.2.2 条件语句 1.2.3 循环语句 1.3 算法案例 本章复习 1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 整体设计 约 1 课时 约 4 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 3 课时 约 1 课时 教学分析 算法在中学数学课程中是一个新的概念,但没有一个精确化的定义,教科书只对它作了如下描述:“在 数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念, 教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发,归纳出了二元一次方程组的求解步骤,这些 步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中, 应从学生非常熟悉的例子引出算法, 再通过例题加以巩固. 三维目标 1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点. 2.通过例题教学,使学生体会设计算法的基本思路. 3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时,激发学生学习数学的兴趣. 重点难点 教学重点:算法的含义及应用. 教学难点:写出解决一类问题的算法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候, 第 1 页 共 140 页 如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤, 解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路 2(情境导入) 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧,宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步? 答案:分三步,第一步:把冰箱门打开;第二步:把大象装进去;第三步:把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念. 思路 3(直接导入) 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已成为 人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机是 怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)解二元一次方程组有几种方法? (2)结合教材实例 ? ? x ? 2 y ? ?1,(1) 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤. ?2 x ? y ? 1, (2) ? x ? 2 y ? ?1,(1) 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤. ?2 x ? y ? 1, (2) (3)结合教材实例 ? (4)请写出解一般二元一次方程组的步骤. (5)根据上述实例谈谈你对算法的理解. (6)请同学们总结算法的特征. (7)请思考我们学习算法的意义. 讨论结果:

(1)代入消元法和加减消元法. (2)回顾二元一次方程组 ? x ? 2 y ? ?1,(1) 的求解过程,我们可以归纳出以下步骤:

? ?2 x ? y ? 1, (2) 第一步,①+②× 2,得 5x=1.③ 第二步,解③,得 x= 1 . 5 3 . 5 第三步,②-①× 2,得 5y=3.④ 第四步,解④,得 y= 1 ? ?x ? 5 , ? 第五步,得到方程组的解为 ? ?y ? 3. ? 5 ? (3)用代入消元法解二元一次方程组 ? x ? 2 y ? ?1,(1) 我们可以归纳出以下步骤:

? ?2 x ? y ? 1, (2) 第一步,由①得 x=2y-1.③ 第 2 页 共 140 页 第二步,把③代入②,得 2(2y-1)+y=1.④ 第三步,解④得 y= 3 .⑤ 5 3 5 1 . 5 第四步,把⑤代入③,得 x=2× -1= 1 ? ?x ? 5 , ? 第五步,得到方程组的解为 ? ?y ? 3. ? 5 ? (4)对于一般的二元一次方程组 ? ?a1 x ? b1 y ? c1 , (1) ? a 2 x ? b2 y ? c 2 , ( 2 ) 其中 a1b2-a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤:

第一步,①× 2-②× 1,得 b b (a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③ 第二步,解③,得 x= b2 c1 ? b1c2 . a1b2 ? a 2 b1 第三步,②× 1-①× 2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④ a a 第四步,解④,得 y= a1c2 ? a 2 c1 . a1b2 ? a 2 b1 b2 c1 ? b1c 2 ? ?x ? a b ? a b , ? 1 2 2 1 第五步,得到方程组的解为 ? ? y ? a1c 2 ? a 2 c1 . ? a1b2 ? a 2 b1 ? (5)算法的定义:广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作 洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等. 在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. (6)算法的特征:①确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的,甚 至无用的步骤, “不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性:

算法从开始的“第一步”直到“最后一步” 之间做到环环相扣,分工明确,“前一步”是“后一步”的前提, “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性:算法 要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果,也就是说必须在有限步内 完成任务,不能无限制地持续进行. (7)在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题,这些步骤称为解决这些问题 的算法.也就是说,算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的,有时需进行大量重复 的计算,它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例 思路 1 例 1 (1)设计一个算法,判断 7 是否为质数. (2)设计一个算法,判断 35 是否为质数. 算法分析:

(1)根据质数的定义,可以这样判断:依次用 2—6 除 7,如果它们中有一个能整除 7,则 7 不 是质数,否则 7 是质数. 第 3 页 共 140 页 算法如下:

(1)第一步,用 2 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 2 不能整除 7. 第二步,用 3 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 3 不能整除 7. 第三步,用 4 除 7,得到余数 3.因为余数不为 0,所以 4 不能整除 7. 第四步,用 5 除 7,得到余数 2.因为余数不为 0,所以 5 不能整除 7. 第五步,用 6 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 6 不能整除 7.因此,7 是质数. (2)类似地,可写出“判断 35 是否为质数”的算法:第一步,用 2 除 35,得到余数 1.因为余数不为 0,所 以 2 不能整除 35. 第二步,用 3 除 35,得到余数 2.因为余数不为 0,所以 3 不能整除 35. 第三步,用 4 除 35,得到余数 3.因为余数不为 0,所以 4 不能整除 35. 第四步,用 5 除 35,得到余数 0.因为余数为 0,所以 5 能整除 35.因此,35 不是质数. 点评:上述算法有很大的局限性,用上述算法判断 35 是否为质数还可以,如果判断 1997 是否为质数就麻 烦了,因此,我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练 请写出判断 n(n>2)是否为质数的算法. 分析:对于任意的整数 n(n>2),若用 i 表示 2—(n-1)中的任意整数,则“判断 n 是否为质数”的算法包含下 面的重复操作:用 i 除 n,得到余数 r.判断余数 r 是否为 0,若是,则不是质数;否则,将 i 的值增加 1,再 执行同样的操作. 这个操作一直要进行到 i 的值等于(n-1)为止. 算法如下:第一步,给定大于 2 的整数 n. 第二步,令 i=2. 第三步,用 i 除 n,得到余数 r. 第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则 n 不是质数,结束算法;否则,将 i 的值增加 1,仍用 i 表示. 第五步,判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则 n 是质数,结束算法;否则,返回第三步. 例 2 写出用“二分法”求方程 x2-2=0 (x>0)的近似解的算法. 分析:令 f(x)=x2-2,则方程 x2-2=0 (x>0)的解就是函数 f(x)的零点. “二分法”的基本思想是:

把函数 f(x)的零点所在的区间 [a,b] (满足 f(a)· f(b)<0) “一分为二”, [a,m] 得到 和[m,b].根据“f(a)·f(m)<0”是否成立,取出零点所在的区间[a,m]或[m,b] ,仍记为[a,b].对所得的区 间[a,b]重复上述步骤,直到包含零点的区间[a,b]“足够小”,则[a,b]内的数可以作为方程的近似解. 解:第一步,令 f(x)=x2-2,给定精确度 d. 第二步,确定区间[a,b] ,满足 f(a)· f(b)<0. 第三步,取区间中点 m= a?b . 2 第四步,若 f(a)· f(m)<0,则含零点的区间为[a,m] ;否则,含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的 区间仍记为[a,b]. 第五步,判断[a,b]的长度是否小于 d 或 f(m)是否等于 0.若是,则 m 是方程的近似解;否则,返回第三 步. 当 d=0.005 时,按照以上算法,可以得到下表. a 1 1 1.25 1.375 1.375 1.406 25 1.406 25 1.414 062 5 b 2 1.5 1.5 1.5 1.437 5 1.437 5 1.421 875 1.421 875 第 4 页 共 140 页 |a-b| 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25 于是, 开区间 (1.414 062 5,1.417 968 75) 中的实数都是当精确度为 0.005 时的原方程的近似解.实际上, 上述步骤也是求 2 的近似值的一个算法. 点评:算法一般是机械的,有时需要进行大量的重复计算,只要按部就班地去做,总能算出结果,通常把 算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成, 实际上处理任何问题都需 要算法.如:中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、 胜负的评判准则;再比如申请出国有一系列的先后手续,购买物品也有相关的手续?? 思路 2 例 1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候, 如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请设计算法. 分析:任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量,还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量 要小于羚羊的数量,故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼,这样才能使得两岸的羚羊数量占到优 势. 解:具体算法如下:

算法步骤:

第一步:人带两只狼过河,并自己返回. 第二步:人带一只狼过河,自己返回. 第三步:人带两只羚羊过河,并带两只狼返回. 第四步:人带一只羊过河,自己返回. 第五步:人带两只狼过河. 点评:算法是解决某一类问题的精确描述,有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们 在写算法时应精练、简练、清晰地表达,要善于分析任何可能出现的情况,体现思维的严密性和完整性. 本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决,在现实生活中,很多较复杂的情境经常遇到这 样的问题,设计算法的时候,如果能够合适地利用某些步骤的重复,不但可以使得问题变得简单,而且可 以提高工作效率. 例 2 喝一杯茶需要这样几个步骤:洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶.问:如何安排这几个步骤?并给 出两种算法,再加以比较. 分析:本例主要为加深对算法概念的理解,可结合生活常识对问题进行分析,然后解决问题. 解:算法一:

第一步,洗刷水壶. 第二步,烧水. 第三步,洗刷茶具. 第四步,沏茶. 算法二:

第一步,洗刷水壶. 第二步,烧水,烧水的过程当中洗刷茶具. 第三步,沏茶. 点评:解决一个问题可有多个算法,可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.上面的两种算 法都符合题意,但是算法二运用了统筹方法的原理,因此这个算法要比算法一更科学. 例 3 写出通过尺轨作图确定线段 AB 一个 5 等分点的算法. 分析:我们借助于平行线定理,把位置的比例关系变成已知的比例关系,只要按照规则一步一步去做就能 完成任务. 解:算法分析:

第一步,从已知线段的左端点 A 出发,任意作一条与 AB 不平行的射线 AP. 第二步,在射线上任取一个不同于端点 A 的点 C,得到线段 AC. 第 5 页 共 140 页 第三步,在射线上沿 AC 的方向截取线段 CE=AC. 第四步,在射线上沿 AC 的方向截取线段 EF=AC. 第五步,在射线上沿 AC 的方向截取线段 FG=AC. 第六步,在射线上沿 AC 的方向截取线段 GD=AC,那么线段 AD=5AC. 第七步,连结 DB. 第八步,过 C 作 BD 的平行线,交线段 AB 于 M,这样点 M 就是线段 AB 的一个 5 等分点. 点评:用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力,并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法, 可谓一举多得,应多加训练. 知能训练 设计算法判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有实数根. 解:算法步骤如下:

第一步,输入一元二次方程的系数:a,b,c. 第二步,计算 Δ=b2-4ac 的值. 第三步,判断 Δ≥0 是否成立.若 Δ≥0 成立,输出“方程有实根”;否则输出“方程无实根”,结束算法. 点评:用算法解决问题的特点是:具有很好的程序性,是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让 我们结合例题仔细体会算法的特点. 拓展提升 中国网通规定:

拨打市内电话时, 如果不超过 3 分钟, 则收取话费 0.22 元; 如果通话时间超过 3 分钟, 则超出部分按每分钟 0.1 元收取通话费, 不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为 (分钟)通话费用 y 元) t , ( , 如何设计一个程序,计算通话的费用. 解:算法分析:

数学模型实际上为:y 关于 t 的分段函数. 关系式如下: ?0.22, (0 ? t ? 3), ? y= ?0.22 ? 0.1(t ? 3), (t ? 3, t ? Z ), ?0.22 ? 0.1([T ? 3] ? 1), (T ? 3, t ? Z ). ? 其中[t-3]表示取不大于 t-3 的整数部分. 算法步骤如下:

第一步,输入通话时间 t. 第二步,如果 t≤3,那么 y=0.22;否则判断 t∈Z 是否成立,若成立执行 y=0.2+0.1× (t-3);否则执行 y=0.2+0.1× [t-3]+1). ( 第三步,输出通话费用 c. 课堂小结 (1)正确理解算法这一概念. (2)结合例题掌握算法的特点,能够写出常见问题的算法. 作业 课本本节练习 1、2. 设计感想 本节的引入精彩独特,让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础, 是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念,本节设置了大量学生熟悉的事例,让学生仔细体会 反复训练.本节的事例有古老的经典算法,有几何算法等,因此这是一节很好的课例. 第 6 页 共 140 页 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 整体设计 教学分析 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性,但是对于在一定条件下才会被执行的步骤,以及在一定 条件下会被重复执行的步骤,自然语言的表示就显得困难,而且不直观、不准确.因此,本节有必要探究使 算法表达得更加直观、准确的方法.程序框图用图形的方式表达算法,使算法的结构更清楚、步骤更直观也 更精确.为了更好地学好程序框图,我们需要掌握程序框的功能和作用,需要熟练掌握三种基本逻辑结构. 三维目标 1.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用. 2.通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中,理解 程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构. 3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性. 重点难点 数学重点:程序框图的画法. 数学难点:程序框图的画法. 课时安排 4 课时 教学过程 第 1 课时 程序框图及顺序结构 导入新课 思路 1(情境导入) 我们都喜欢外出旅游,优美的风景美不胜收,如果迷了路就不好玩了,问路有时还听不明白,真是急 死人,有的同学说买张旅游图不就好了吗,所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确,本 节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图. 思路 2(直接导入) 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性,但是对于在一定条件下才会被执行的步骤,以及在一定 条件下会被重复执行的步骤,自然语言的表示就显得困难,而且不直观、不准确.因此,本节有必要探究使 算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)什么是程序框图? (2)说出终端框(起止框)的图形符号与功能. (3)说出输入、输出框的图形符号与功能. (4)说出处理框(执行框)的图形符号与功能. (5)说出判断框的图形符号与功能. (6)说出流程线的图形符号与功能. (7)说出连接点的图形符号与功能. (8)总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能. (9)什么是顺序结构? 讨论结果:

(1)程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程线将程序框连接起 来,表示算法步骤的执行顺序. (2)椭圆形框:

表示程序的开始和结束,称为终端框(起止框) .表示开始时只有一个出口;表示结 第 7 页 共 140 页 束时只有一个入口. (3)平行四边形框:

表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框,它有一个入口和一个出 口. (4)矩形框:

表示计算、赋值等处理操作,又称为处理框(执行框) ,它有一个入口和一个出口. (5)菱形框:

是用来判断给出的条件是否成立,根据判断结果来决定程序的流向,称为判断框,它 有一个入口和两个出口. (6)流程线:

表示程序的流向. (7)圆圈:

连接点.表示相关两框的连接处,圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起. (8)总结如下表. 图形符号 名称 终端框(起止框) 输入、输出框 处理框(执行框) 判断框 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标明 “是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N” 连接程序框 流程线 连接点 连接程序框图的两部分 (9)很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构. 三种逻辑结构可以用如下程序框图表示: 顺序结构 条件结构 循环结构 应用示例 例 1 请用程序框图表示前面讲过的“判断整数 n(n>2)是否为质数”的算法. 解:程序框图如下: 第 8 页 共 140 页 点评:程序框图是用图形的方式表达算法,使算法的结构更清楚,步骤更直观也更精确.这里只是让同学们 初步了解程序框图的特点,感受它的优点,暂不要求掌握它的画法. 变式训练 观察下面的程序框图,指出该算法解决的问题. 解:这是一个累加求和问题,共 99 项相加,该算法是求 1 1 1 1 ? ? ??? 的值. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100 例 2 已知一个三角形三条边的边长分别为 a,b,c,利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算 法 , 并 画 出 程 序 框 图 表 示 . ( 已 知 三 角 形 三 边 边 长 分 别 为 a,b,c , 则 三 角 形 的 面 积 为 S= ,其中 p= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ) a?b?c .这个公式被称为海伦—秦九韶公式) 2 算法分析:这是一个简单的问题,只需先算出 p 的值,再将它代入分式,最后输出结果.因此只用顺序结构 应能表达出算法. 算法步骤如下:

第一步,输入三角形三条边的边长 a,b,c. 第二步,计算 p= 第三步,计算 S= 第四步,输出 S. 程序框图如下: a?b?c . 2 p( p ? a)( p ? b)( p ? c) . 第 9 页 共 140 页 点评:很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,它是最简单的逻辑结构,它是任何一个算法 都离不开的基本结构. 变式训练 下图所示的是一个算法的流程图,已知 a1=3,输出的 b=7,求 a2 的值. 解:根据题意 a1 ? a 2 =7, 2 ∵a1=3,∴a2=11.即 a2 的值为 11. 例 3 写出通过尺轨作图确定线段 AB 的一个 5 等分点的程序框图. 解:利用我们学过的顺序结构得程序框图如下: 点评:这个算法步骤具有一般性,对于任意自然数 n,都可以按照这个算法的思想,设计出确定线段的 n 等分点的步骤,解决问题,通过本题学习可以巩固顺序结构的应用. 知能训练 有关专家建议,在未来几年内,中国的通货膨胀率保持在 3?%左右,这将对我国经济的稳定有利无 第 10 页 共 140 页 害.所谓通货膨胀率为 3%,指的是每年消费品的价格增长率为 3%?.在这种情况下,某种品牌的钢琴 2004 年的价格是 10 000 元,请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况,并输出四年后的价格. 解:用 P 表示钢琴的价格,不难看出如下算法步骤:

2005 年 P=10 000× (1+3%)=10 300; 2006 年 P=10 300× (1+3%)=10 609; 2007 年 P=10 609× (1+3%)=10 927.27; 2008 年 P=10 927.27× (1+3%)=11 255.09; 因此,价格的变化情况表为:

年份 钢琴的价格 程序框图如下:

2004 10 000 2005 10 300 2006 10 609 2007 10 927.27 2008 11 255.09 点评:顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路,将问题解决掉.最后将解题步骤 “细化”就 可以.“细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图. 拓展提升 如下给出的是计算 ______________. 1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是 2 4 6 20 答案:i>10. 课堂小结 (1)掌握程序框的画法和功能. (2)了解什么是程序框图,知道学习程序框图的意义. 第 11 页 共 140 页 (3)掌握顺序结构的应用,并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法. 作业 习题 1.1A 1. 设计感想 首先,本节的引入新颖独特,旅游图的故事阐明了学习程序框图的意义.通过丰富有趣的事例让学生了 解了什么是程序框图,进而激发学生学习程序框图的兴趣.本节设计题目难度适中,逐步把学生带入知识的 殿堂,是一节好的课例. 第 2 课时 条件结构 导入新课 思路 1(情境导入) 我们以前听过这样一个故事,野兽与鸟发生了一场战争,蝙蝠来了,野兽们喊道:你有牙齿是我们一 伙的,鸟们喊道:你有翅膀是我们一伙的,蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法,如果野兽 赢了,就加入野兽这一伙,否则加入另一伙,事实上蝙蝠用了分类讨论思想,在算法和程序框图中也经常 用到这一思想方法,今天我们开始学习新的逻辑结构——条件结构. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了顺序结构,顺序结构像是一条没有分支的河流,奔流到海不复回,事实上多数河流是 有分支的,今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)举例说明什么是分类讨论思想? (2)什么是条件结构? (3)试用程序框图表示条件结构. (4)指出条件结构的两种形式的区别. 讨论结果:

(1)例如解不等式 ax>8(a≠0),不等式两边需要同除 a,需要明确知道 a 的符号,但条件没有给出,因此需要 进行分类讨论,这就是分类讨论思想. (2)在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构 就是处理这种过程的结构. (3)用程序框图表示条件结构如下. 条件结构:先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构(或分支结构) ,如图 1 所示.执行过程如下:条件成立,则执行 A 框;不成立,则执行 B 框. 图1 图2 注:无论条件是否成立,只能执行 A、B 之一,不可能两个框都执行.A、B 两个框中,可以有一个是空 的,即不执行任何操作,如图 2. (4)一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤,符合条件就执行“步骤 A”,否则执行“步骤 B”;另一种是 在一个“分支”中均包含算法的步骤 A,而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤,符合条件就执行“步骤 A”,否则执行这个条件结构后的步骤. 应用示例 第 12 页 共 140 页 例 1 任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断以这 3 个正实数为三边边长的三角形是否存在,并 画出这个算法的程序框图. 算法分析:判断以 3 个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在,只需验证这 3 个数中任意两个 数的和是否大于第 3 个数.这个验证需要用到条件结构. 算法步骤如下:

第一步,输入 3 个正实数 a,b,c. 第二步,判断 a+b>c,b+c>a,c+a>b 是否同时成立.若是,则存在这样的三角形;否则,不存在这样的三角 形. 程序框图如右图: 点评:根据构成三角形的条件,判断是否满足任意两边之和大于第三边,如果满足则存在这样的三角形, 如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点,在画程序框图时,常常遇到需要讨论 的问题,这时要用到条件结构. 例 2 设计一个求解一元二次方程 ax2+bx+c=0 的算法,并画出程序框图表示. 算法分析:我们知道,若判别式 Δ=b2-4ac>0,则原方程有两个不相等的实数根 x1= ?b? ? ?b? ? ,x2= ; 2a 2a b ; 2a 若 Δ=0,则原方程有两个相等的实数根 x1=x2= ? 若 Δ<0,则原方程没有实数根.也就是说,在求解方程之前,可以先判断判别式的符号,根据判断的结果执 行不同的步骤,这个过程可以用条件结构实现. 又因为方程的两个根有相同的部分, 为了避免重复计算, 可以在计算 x1 和 x2 之前, 先计算 p= ? 解决这一问题的算法步骤如下:

第一步,输入 3 个系数 a,b,c. 第二步,计算 Δ=b2-4ac. 第三步,判断 Δ≥0 是否成立.若是,则计算 p= ? b ? , q= . 2a 2a b ? ,q= ;否则,输出“方程没有实数根”,结束算法. 2a 2a 第四步,判断 Δ=0 是否成立.若是,则输出 x1=x2=p;否则,计算 x1=p+q,x2=p-q,并输出 x1,x2. 程序框图如下: 第 13 页 共 140 页 例 3 设计算法判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有实数根,并画出相应的程序框图. 解:算法步骤如下:

第一步,输入 3 个系数:a,b,c. 第二步,计算 Δ=b2-4ac. 第三步,判断 Δ≥0 是否成立.若是,则输出“方程有实根”;否则,输出“方程无实根”.结束算法. 相应的程序框图如右: 点评:根据一元二次方程的意义,需要计算判别式 Δ=b2-4ac 的值.再分成两种情况处理:

(1)当 Δ≥0 时, 一元二次方程有实数根; (2)当 Δ<0 时,一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题,根据一元二次方程系数的不 同情况,最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时,必须先确定判别式的值,然后再用判别式的值 的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的,要对判别式的值进行判断,需要用到条件结 构. 例 4 (1)设计算法,求 ax+b=0 的解,并画出流程图. 解:对于方程 ax+b=0 来讲,应该分情况讨论方程的解. 我们要对一次项系数 a 和常数项 b 的取值情况进行分类,分类如下:

(1)当 a≠0 时,方程有唯一的实数解是 ? b ; a (2)当 a=0,b=0 时,全体实数都是方程的解; (3)当 a=0,b≠0 时,方程无解. 联想数学中的分类讨论的处理方式,可得如下算法步骤: 第 14 页 共 140 页 第一步,判断 a≠0 是否成立.若成立,输出结果“解为 ? b ”. a 第二步,判断 a=0,b=0 是否同时成立.若成立,输出结果“解集为 R”. 第三步,判断 a=0,b≠0 是否同时成立.若成立,输出结果“方程无解”,结束算法. 程序框图如下: 点评:这是条件结构叠加问题,条件结构叠加,程序执行时需依次对“条件 1”“条件 2”“条件 3”……都进行 判断,只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作. 知能训练 设计算法,找出输入的三个不相等实数 a、b、c 中的最大值,并画出流程图. 解:算法步骤:

第一步,输入 a,b,c 的值. 第二步,判断 a>b 是否成立,若成立,则执行第三步;否则执行第四步. 第三步,判断 a>c 是否成立,若成立,则输出 a,并结束;否则输出 c,并结束. 第四步,判断 b>c 是否成立,若成立,则输出 b,并结束;否则输出 c,并结束. 程序框图如下: 点评:条件结构嵌套与条件结构叠加的区别:

(1)条件结构叠加,程序执行时需依次对“条件 1”“条件 2”“条件 3”……都进行判断,只有遇到能满足的 条件才执行该条件对应的操作. (2)条件结构的嵌套中,“条件 2”是“条件 1”的一个分支,“条件 3”是“条件 2”的一个分支……依此类推, 这些条件中很多在算法执行过程中根据所处的分支位置不同可能不被执行. (3)条件结构嵌套所涉及的“条件 2”“条件 3”……是在前面的所有条件依次一个一个的满足“分支条件成 立”的情况下才能执行的此操作,是多个条件同时成立的叠加和复合. 例 5 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙 两地之间物品的托运费用根据下列方法计算: 第 15 页 共 140 页 f= ? ?0.53?, (? ? 50), ?50 ? 0.53 ? (? ? 50) ? 0.85, (? ? 50). 其中 f(单位:元)为托运费,ω 为托运物品的重量(单位:千克). 试画出计算费用 f 的程序框图. 分析:这是一个实际问题,根据数学模型可知,求费用 f 的计算公式随物品重量 ω 的变化而有所不同,因 此计算时先看物品的重量,在不同的条件下,执行不同的指令,这是条件结构的运用,是二分支条件结构. 其中,物品的重量通过输入的方式给出. 解:算法程序框图如右图:

拓展提升 有一城市,市区为半径为 15 km 的圆形区域,近郊区为距中心 15—25 km 的范围内的环形地带,距中 心 25 km 以外的为远郊区,如右图所示.市区地价每公顷 100 万元,近郊区地价每公顷 60 万元,远郊区 地价为每公顷 20 万元,输入某一点的坐标为(x,y),求该点的地价. 2 2 分析:由该点坐标(x,y),求其与市中心的距离 r= x ? y ,确定是市区、近郊区,还是远郊区,进而 ?100,0 ? r ? 15, ? 确定地价 p.由题意知,p= ?60,15 ? r ? 25, ?20, r ? 25. ? 解:程序框图如下: 第 16 页 共 140 页 课堂小结 (1)理解两种条件结构的特点和区别. (2)能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题. 作业? 习题 1.1A 组 3. 设计感想 本节采用引人入胜的方法引入正课,选用的例题难度适中,有的经典实用,有的新颖独特,每个例题 都是很好的素材.条件结构是逻辑结构的核心,是培养学生逻辑推理的好素材,本节设计符合新课标精神, 难度设计略高于教材. 第 3 课时 循环结构 导入新课 思路 1(情境导入) 我们都想生活在一个优美的环境中,希望看到的是碧水蓝天,大家知道工厂的污水是怎样处理的吗? 污水进入处理装置后进行第一次处理,如果达不到排放标准,则需要再进入处理装置进行处理,直到达到 排放标准.污水处理装置是一个循环系统,对于处理需要反复操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多 问题需要反复操作,今天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了顺序结构,顺序结构像一条没有分支的河流,奔流到海不复回;上一节我们学习了条 件结构,条件结构像有分支的河流最后归入大海;事实上很多水系是循环往复的,今天我们开始学习循环 往复的逻辑结构——循环结构. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)请大家举出一些常见的需要反复计算的例子. (2)什么是循环结构、循环体? (3)试用程序框图表示循环结构. (4)指出两种循环结构的相同点和不同点. 讨论结果:

(1)例如用二分法求方程的近似解、数列求和等. (2)在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,这就是循环结 构.反复执行的步骤称为循环体. (3)在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始,按照一定条件重复执 第 17 页 共 140 页 行某一处理的过程.重复执行的处理步骤称为循环体. 循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构. 1°当型循环结构,如图(1)所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后, 返回来再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,返回来再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次返 回来判断条件 P 不成立时为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构.继续执行下面的框图. 2°直到型循环结构,如图(2)所示,它的功能是先执行重复执行的 A 框,然后判断给定的条件 P 是 否成立,如果 P 仍然不成立,则返回来继续执行 A 框,再判断条件 P 是否成立.继续重复操作,直到某一 次给定的判断条件 P 时成立为止,此时不再返回来执行 A 框,离开循环结构.继续执行下面的框图. 见示意图: 当型循环结构 直到型循环结构 (4)两种循环结构的不同点:

直到型循环结构是程序先进入循环体, 然后对条件进行判断, 如果条件不满足, 就继续执行循环体,直到条件满足时终止循环. 当型循环结构是在每次执行循环体前,先对条件进行判断,当条件满足时,执行循环体,否则终止循 环. 两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出,循环结构中一定包含条件结构,用于确 定何时终止执行循环体. 应用示例 思路 1 例 1 设计一个计算 1+2+??+100 的值的算法,并画出程序框图. 算法分析:通常,我们按照下列过程计算 1+2+??+100 的值. 第 1 步,0+1=1. 第 2 步,1+2=3. 第 3 步,3+3=6. 第 4 步,6+4=10. ?? 第 100 步,4 950+100=5 050. 显然,这个过程中包含重复操作的步骤,可以用循环结构表示.分析上述计算过程,可以发现每一步都 可以表示为第(i-1)步的结果+i=第 i 步的结果. 为了方便、有效地表示上述过程,我们用一个累加变量 S 来表示第一步的计算结果,即把 S+i 的结果 仍记为 S,从而把第 i 步表示为 S=S+i, 其中 S 的初始值为 0,i 依次取 1,2,…,100,由于 i 同时记录了循环的次数,所以也称为计数变量. 解决这一问题的算法是:

第一步,令 i=1,S=0. 第二步,若 i≤100 成立,则执行第三步;否则,输出 S,结束算法. 第三步,S=S+i. 第四步,i=i+1,返回第二步. 程序框图如右: 第 18 页 共 140 页 上述程序框图用的是当型循环结构,如果用直到型循环结构表示,则程序框图如下: 点评:这是一个典型的用循环结构解决求和的问题,有典型的代表意义,可把它作为一个范例,仔细体会 三种逻辑结构在程序框图中的作用,学会画程序框图. 变式训练 已知有一列数 1 2 3 n , , ,?, ,设计框图实现求该列数前 20 项的和. 2 3 4 n ?1 i ,可实现累加,注意 i 只能加到 i ?1 分析:该列数中每一项的分母是分子数加 1,单独观察分子,恰好是 1,2,3,4,…,n,因此可用循环 结构实现,设计数器 i,用 i=i+1 实现分子,设累加器 S,用 S= S ? 20. 解:程序框图如下:

方法一: 方法二: 第 19 页 共 140 页 点评:在数学计算中,i=i+1 不成立,S=S+i 只有在 i=0 时才能成立.在计算机程序中,它们被赋予了其他 的功能,不再是数学中的“相等”关系,而是赋值关系.变量 i 用来作计数器,i=i+1 的含义是:将变量 i 的 值加 1,然后把计算结果再存贮到变量 i 中,即计数器 i 在原值的基础上又增加了 1. 变量 S 作为累加器,来计算所求数据之和.如累加器的初值为 0,当第一个数据送到变量 i 中时,累 加的动作为 S=S+i,即把 S 的值与变量 i 的值相加,结果再送到累加器 S 中,如此循环,则可实现数的累 加求和. 例 2 某厂 2005 年的年生产总值为 200 万元, 技术革新后预计以后每年的年生产总值都比上一年增长 5%, 设计一个程序框图,输出预计年生产总值超过 300 万元的最早年份. 算法分析:先写出解决本例的算法步骤:

第一步,输入 2005 年的年生产总值. 第二步,计算下一年的年生产总值. 第三步,判断所得的结果是否大于 300,若是,则输出该年的年份,算法结束;否则,返回第二步. 由于“第二步”是重复操作的步骤, 所以本例可以用循环结构来实现.我们按照“确定循环体”“初始化变量”“设 定循环控制条件”的顺序来构造循环结构. (1)确定循环体:设 a 为某年的年生产总值,t 为年生产总值的年增长量,n 为年份,则循环体为 t=0.05a,a=a+t,n=n+1. (2) 初始化变量:

若将 2005 年的年生产总值看成计算的起始点, n 的初始值为 2005, 的初始值为 200. 则 a (3)设定循环控制条件:当“年生产总值超过 300 万元”时终止循环,所以可通过判断“a>300”是否成立来 控制循环. 程序框图如下: 第 20 页 共 140 页 思路 2 例 1 设计框图实现 1+3+5+7+…+131 的算法. 分析:由于需加的数较多,所以要引入循环结构来实现累加.观察所加的数是一组有规律的数(每相临两 数相差 2) 那么可考虑在循环过程中, , 设一个变量 i, i=i+2 来实现这些有规律的数, 用 设一个累加器 sum, 用来实现数的累加,在执行时,每循环一次,就产生一个需加的数,然后加到累加器 sum 中. 解:算法如下:

第一步,赋初值 i=1,sum=0. 第二步,sum=sum+i,i=i+2. 第三步,如果 i≤131,则反复执第二步;否则,执行下一步. 第四步,输出 sum. 第五步,结束. 程序框图如右图. 点评:

(1)设计流程图要分步进行,把一个大的流程图分割成几个小的部分,按照三个基本结构即顺序、 条件、循环结构来局部安排,然后把流程图进行整合. (2)框图画完后,要进行验证,按设计的流程分析是否能实现所求的数的累加,分析条件是否加到 131 就结束循环,所以我们要注意初始值的设置、循环条件的确定以及循环体内语句的先后顺序,三者要有机 地结合起来.最关键的是循环条件,它决定循环次数,可以想一想,为什么条件不是“i<131”或“i=131”, 如果是“i<131”,那么会少执行一次循环,131 就加不上了. 例 2 高中某班一共有 40 名学生,设计算法流程图,统计班级数学成绩良好(分数>80)和优秀(分数>90)的 人数. 分析:用循环结构实现 40 个成绩的输入,每循环一次就输入一个成绩 s,然后对 s 的值进行判断.设两个计 数器 m,n,如果 s>90,则 m=m+1,如果 80<s≤90,则 n=n+1.设计数器 i,用来控制 40 个成绩的输入,注意 循环条件的确定. 解:程序框图如下图: 第 21 页 共 140 页 知能训练 由相应的程序框图如右图,补充完整一个计算 1+2+3+…+100 的值的算法.(用循环结构) 第一步,设 i 的值为_____________. 第二步,设 sum 的值为_____________. 第三步,如果 i≤100 执行第_____________步,否则,转去执行第_____________步. 第四步,计算 sum+i 并将结果代替_____________. 第五步,计算_____________并将结果代替 i. 第六步,转去执行第三步. 第七步,输出 sum 的值并结束算法. 分析:流程图各图框的内容(语言和符号)要与算法步骤相对应,在流程图中算法执行的顺序应按箭头方 向进行. 解:第一步,设 i 的值为 1. 第二步,设 sum 的值为 0. 第三步,如果 i≤100,执行第四步,否则,转去执行第七步. 第 22 页 共 140 页 第四步,计算 sum+i 并将结果代替 sum. 第五步,计算 i+1 并将结果代替 i. 第六步,转去执行第三步. 第七步,输出 sum 的值并结束算法. 拓展提升 设计一个算法,求 1+2+4+…+249 的值,并画出程序框图. 解:算法步骤:

第一步,sum=0. 第二步,i=0. 第三步,sum=sum+2i. 第四步,i=i+1. 第五步,判断 i 是否大于 49,若成立,则输出 sum,结束.否则,返回第三步重新执行. 程序框图如右图: 点评:

(1) 如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作, 且先后参与运算的数之间有相同的规律, 就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量) ,应用于循环结构.在循环结构中,要注意根据条件设 计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等,特别要求条件的表述要恰当、精确. (2)累加变量的初始值一般取 0,而累乘变量的初始值一般取 1. 课堂小结 (1)熟练掌握两种循环结构的特点及功能. (2)能用两种循环结构画出求和等实际问题的程序框图,进一步理解学习算法的意义. 作业 习题 1.1A 组 2. 设计感想 本节的引入抓住了本节的特点,利用计算机进行循环往复运算,解决累加、累乘等问题.循环结构是逻 辑结构中的难点,它一定包含一个条件结构,它能解决很多有趣的问题.本节选用了大量精彩的例题,对我 们系统掌握程序框图有很大的帮助. 第 4 课时 程序框图的画法 导入新课 思路 1(情境导入) 一条河流有时像顺序结构,奔流到海不复回;有时像条件结构分分合合向前进;有时像循环结构,虽 有反复但最后流入大海.一个程序框图就像一条河流包含三种逻辑结构,今天我们系统学习程序框图的画 法. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了顺序结构、条件结构、循环结构,今天我们系统学习程序框图的画法. 第 23 页 共 140 页 推进新课 新知探究 提出问题 (1)请大家回忆顺序结构,并用程序框图表示. (2)请大家回忆条件结构,并用程序框图表示. (3)请大家回忆循环结构,并用程序框图表示. (4)总结画程序框图的基本步骤. 讨论结果:

(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构.框图略. (2)在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就 是处理这种过程的结构.框图略. (3)在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始,按照一定条件重复执行 某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体. 循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构.框图略. (4)从前面的学习可以看出,设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤:

第一步,用自然语言表达算法步骤. 第二步,确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框表示,得到该步骤的程序框图. 第三步,将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程序框图. 应用示例 例 1 结合前面学过的算法步骤,利用三种基本逻辑结构画出程序框图,表示用“二分法”求方程 x2-2=0 (x>0)的近似解的算法. 算法分析:

(1)算法步骤中的“第一步”“第二步”和“第三步”可以用顺序结构来表示(如下图) : (2)算法步骤中的“第四步”可以用条件结构来表示(如下图).在这个条件结构中,“否”分支用“a=m”表示 含零点的区间为[m,b],并把这个区间仍记成[a,b] ;“是”分支用“b=m ”表示含零点的区间为[a,m] , 同样把这个区间仍记成[a,b]. (3)算法步骤中的“第五步”包含一个条件结构,这个条件结构与“第三步”“第四步”构成一个循环结构,循 环体由“第三步”和“第四步”组成, 终止循环的条件是“|a-b|<d 或 f(m)=0”.在“第五步”中, 还包含由循环结构 与“输出 m”组成的顺序结构(如下图). 第 24 页 共 140 页 (4)将各步骤的程序框图连接起来,并画出“开始”与“结束”两个终端框,就得到了表示整个算法的程序框 图(如下图). 点评:在用自然语言表述一个算法后,可以画出程序框图,用顺序结构、条件结构和循环结构来表示这个 算法,这样表示的算法清楚、简练,便于阅读和交流. 例 2 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者,问他需要什么.发明者说:陛下,在国际象棋的第一 个格子里面放 1 粒麦子,在第二个格子里面放 2 粒麦子,第三个格子放 4 粒麦子,以后每个格子中的麦粒 数都是它前一个格子中麦粒数的二倍,依此类推(国际象棋棋盘共有 64 个格子),请将这些麦子赏给我, 我将感激不尽.国王想这还不容易,就让人扛了一袋小麦,但不到一会儿就没了,最后一算结果,全印度一 年生产的粮食也不够.国王很奇怪,小小的“棋盘”,不足 100 个格子,如此计算怎么能放这么多麦子?试用 程序框图表示此算法过程. 解:将实际问题转化为数学模型,该问题就是要求 1+2+4+……+263 的和. 程序框图如下: 第 25 页 共 140 页 点评:对于开放式探究问题,我们可以建立数学模型(上面的题目可以与等比数列的定义、性质和公式联 系起来)和过程模型来分析算法,通过设计算法以及语言的描述选择一些成熟的办法进行处理. 例 3 乘坐火车时,可以托运货物.从甲地到乙地,规定每张火车客票托运费计算方法是:行李质量不超 过 50 kg 时按 0.25?元/kg;超过 50 kg 而不超过 100 kg 时,其超过部分按 0.35 元/kg;超过 100 kg 时, 其超过部分按 0.45 元/kg.编写程序,输入行李质量,计算出托运的费用. 分析:

本题主要考查条件语句及其应用. 先解决数学问题, 列出托运的费用关于行李质量的函数关系式. 设 行李质量为 x kg,应付运费为 y 元,则运费公式为: ?0.25x,0 ? x ? 50, ? y= ?0.25 ? 50 ? 0.35( x ? 50),50 ? x ? 100, ?0.25 ? 50 ? 0.35 ? 50 ? 0.45( x ? 100), x ? 100, ? ?0.25x,0 ? x ? 50, ? 整理得 y= ?0.35x ? 5,50 ? x ? 100, ?0.45x ? 15, x ? 100. ? 要计算托运的费用必须对行李质量分类讨论,因此要用条件语句来实现. 解:算法分析:

第一步,输入行李质量 x. 第二步,当 x≤50 时,计算 y=0.25x,否则,执行下一步. 第三步,当 x≤100,计算 y=0.35x-5,否则,计算 y=0.45x-15. 第四步,输出 y. 程序框图如下: 第 26 页 共 140 页 知能训练 设计一个用有理数数幂逼近无理指数幂 5 解:算法步骤: 第一步,给定精确度 d,令 i=1. 第二步,取出 2 的到小数点后第 i 位的不足近似值,记为 a;取出 2 的到小数点后第 i 位的过剩近似值, 记为 b. 第三步,计算 m=5b-5a. 第四步,若 m<d,则得到 5 第五步,得到 5 程序框图如下: 2 2 2 的算法,画出算法的程序框图. 的近似值为 5a;否则,将 i 的值增加 1,返回第二步. 的近似值为 5a. 拓展提升 第 27 页 共 140 页 求4? 1 4? 1 ,画出程序框图. 1 4 ??? 4 ??? ??? ? ? ? ( 共10 个 4 ) 分析:如果采用逐步计算的方法,利用顺序结构来实现,则非常麻烦,由于前后的运算需重复多次相同的 运算,所以应采用循环结构,可用循环结构来实现其中的规律.观察原式中的变化的部分及不变项,找出 总体的规律是 4+ 1 ,要实现这个规律,需设初值 x=4. x 解:程序框图如下: 课堂小节 (1)进一步熟悉三种逻辑结构的应用,理解算法与程序框图的关系. (2)根据算法步骤画出程序框图. 作业 习题 1.1B 组 1、2. 设计感想 本节是前面内容的概括和总结,在回忆前面内容的基础上,选择经典的例题,进行了详尽的剖析,这 样降低了学生学习的难度.另外,本节的练习难度适中,并且多为学生感兴趣的问题,这样为学生学好本节 内容作好充分准备,希望大家喜欢这一节课. 第 28 页 共 140 页 1.2 基本算法语句 1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句 整体设计 教学分析 通过上一节的学习,学生了解了算法的含义,学习了用算法步骤和程序框图表示算法的方法,本节介 绍用程序设计语言表示算法的方法. 算法步骤和程序框图表示的算法,计算机是不能理解的,程序是算法 的精确形式, 是计算机可以理解的算法.本节的教学重点是通过实例使学生理解三种基本算法语句的结构和 用法,并在此基础上编写由算法语句组成的程序,从而更细致地刻画算法,进一步体会算法的基本思想. 三维目标 1.理解学习基本算法语句的意义. 2.学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法. 3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系,学会算法语句的写法. 重点难点 教学重点:输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法. 教学难点:算法语句的写法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 中国足球队在亚洲杯上的失利说明, 中国足球仍然需要请外国教练.高水平的外国教练有先进的足球理 念,有系统科学的训练计划,有先进的足球技术,但由于语言不通不能直接传授给队员. 算法步骤、程序 框图虽然容易掌握,但计算机不能理解,因此我们需要学习算法语句. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、 程序框图, 我们开始学习算法语句. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)指出输入语句的格式、功能、要求. (2)指出输出语句的格式、功能、要求. (3)指出赋值语句的格式、功能、要求. (4)利用框图总结三种语句的功能、格式、特点. (5)指出三种语句与框图的对应关系. 讨论结果:

(1)输入语句的格式:INPUT“提示内容”; 变量 例如:INPUT “x=”;x 功能:实现算法的输入变量信息(数值或字符)的功能. 要求:

1°输入语句要求输入的值是具体的常量. 2°提示内容提示用户输入的是什么信息,必须加双引号,提示内容 “原原本本”的在计算机屏幕上显示, 提示内容与变量之间要用分号隔开. 3°一个输入语句可以给多个变量赋值,中间用“,”分隔. 形式如:INPUT“a=,b=,c=,”;a,b,c (2)输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”;表达式 例如:PRINT“S=”;S 第 29 页 共 140 页 功能:实现算法输出信息(表达式)的功能. 要求:

1°表达式是指算法和程序要求输出的信息. 2°提示内容提示用户要输出的是什么信息,提示内容必须加双引号,提示内容要用分号和表达式分开. 3°如同输入语句一样,输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能,不同的表达式之间可用“,”分隔. 形式如:PRINT “a,b,c:”;a,b,c (3)赋值语句的一般格式:变量=表达式. 赋值语句中的“=”称作赋值号. 功能:将表达式所代表的值赋给变量. 要求:

1°赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式. 如:2=x 是错误的. 2°赋值号的左右两边不能对换 .赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量 .如 “A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的,如 x=5 是对的,5=x 是错的,A+B=C 是错的,C=A+B 是对的. 3°不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等) ,如 y=x2-1=(x-1)(x+1),这是 实现不了的.在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个 变量赋值,不能出现两个或以上的“=”.但对于同一个变量可以多次赋值. (4)三种语句的功能、格式、特点如下:

在 QBASIC 语言中, 输入语句?是 INPUT 语句, 输出语句是 PRINT 语句, 赋值语句是 LET 语句 (“LET” 可以省略).下表列出了这三种语句的一般格式、主要功能和相关说明,供教师教学时参考,不要求学生掌 握. INPUT 语句 格 式 功 能 INPUT“提示内容”;变量 可对程序中的变量赋值 ①又称“键盘输入语句”, 在程 序运行过程中, 停机等候用户 由键盘输入数据, 而不需要在 写程序时指定 ②“提示内容”和它后面的“;” 可以省略 说 明 ③一个语句可以给多个变量 ③一个语句可以 赋值,中间用“,”分隔 输出多个表达式. ④无计算功能 不同的表达式之 间可用“,”分隔 ⑤用户由键盘输入的数据必 须是常量, 输入多个数据时用 ④有计算功能, “,”分隔,且个数要与变量的 能直接输出计算 个数相同 公式的值 PRINT 语句 赋值语句 PRINT“ 提 示 内 LET 变量=表达式 容”;表达式 可输出表达式的 可对程序中的变量赋值, 值,计算 计算 ①在程序运行过程中给 ①又称“打印语 变量赋值 句”,将表达式的 值在屏幕上显示 ②“LET”可以省略,“=” 出来 的右侧必须是表达式, 左 侧必须是变量 ②表达式可以是 变量、计算公式 ③一个语句只能给一个 或系统信息 变量赋值 ④有计算功能 ⑤将一个变量的值赋给 另一个变量, 前一个变量 的值保持不变; 可先后给 一个变量赋多个不同的 值, 但变量的取值总是最 后被赋予的值 (5)指出三种语句与框图的对应关系如下图. 第 30 页 共 140 页 应用示例 思路 1 例 1 用描点法作函数 y=x3+3x2-24x+30 的图象时,需要求出自变量和函数的一组对应值 .编写程序,分别 计算当 x=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 时的函数值. 算法分析:根据题意,对于每一个输入的自变量的值,都要输出相应的函数值.写成算法步骤如下:

第一步,输入一个自变量的 x 的值. 第二步,计算 y=x3+3x2-24x+30. 第三步,输出 y. 程序框图如下图: 显然,这是一个由顺序结构构成的算法,按照程序框图中流程线的方向,依次将程序框中的内容写成 相应的算法语句,就得相应的程序. 解:程序:

INPUT “x”;x y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT y END 点评:前面我们学习了算法步骤、程序框图,我们对照程序框图与算法语句可以得到它们之间的对应关系. 例如:在这个程序中,第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句.这个语句的一般格式是 INPUT “提示内容”;变量 其中,“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息,每次运行例 1 中的程序时,依次输入-5,-4,-3,-2, -1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值计算变量“y”的值. 例 2 给一个变量重复赋值. 解:程序:

A=10 A=A+15 PRINT A END 点评:给一个变量重复赋值,变量只保存最后一次赋值,比如此程序的输出值是 25. 例 3 编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩. 算法分析: 第 31 页 共 140 页 先写出解决本例的算法步骤:

第一步,输入该学生数学、语文、英语三门课的成绩 a,b,c. 第二步,计算 y= 第三步,输出 y. 程序框图如下: a?b?c . 3 由于 PRINT 语?句还可以用于输出数值计算的结果,所以这个算法可以写成下列程序. 程序:

INPUT “Maths=”;a INPUT “Chinese=”;b INPUT “English=”;c PRINT “The average=”;(a+b+c)/3 END 点评:例 3 中的第 4 行的?PRINT 语?句是输出语句,它的一般形式是 PRINT“提示内容”;表达式 PRINT 语句可以在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息,同输入语句一样,这里的表达式前也 可以有“提示内容”. 例 4 变换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值. 解:程序:

INPUT A,B PRINT A,B x=A A=B B=x PRINT A,B END 思路 2 例 1 写出求三个数 a,b,c 的方差的程序. 分析:方差是在初中统计内容中学习过的知识,计算所有数的方差首先计算所有数的平均数 x ,通过公式 s2= ( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 来计算. n a?b?c . 3 算法步骤:

第一步,计算平均数 x ? (a ? x ) 2 ? (b ? x ) 2 ? (c ? x ) 2 第二步,计算方差 s = . 3 2 第 32 页 共 140 页 第三步,得到的结果即为所求. 程序如下:

INPUT a,b,c y=(a+b+c)/3 S=((a-y)2+ (b-y)2+ (c-y)2)/3 PRINT S END 点评:套用公式求值问题是传统数学求值问题的一种,它是一种典型的顺序结构,也就是说只通过输入、 输出和赋值语句就可以完成任务.解决这类问题的关键是先分析这种问题的解法,即构造计算的过程,再写 出算法步骤和流程图,再翻译成算法语句即可. 例 2 编写一个程序,要求输入两个正数 a 和 b 的值,输出 ab 和 ba 的值. 分析:可以利用?INPUT 语?句输入两个正数,然后将 ab 和 ba 的值分别赋给两个变量输出即可.也可以将 ab 和 ba 的底数和幂数进行交换,故还可以利用赋值语句,采用将两个变量的值互换的办法实现. 解:程序 1:

INPUT “a,b:”;a,b A=a^b B=b^a PRINT “a^b=”;A,“b^a=”;B END 程序 2:

INPUT “a,b:”;a,b A=a^b PRINT “a^b=”;A x=a a=b b=x A=a^b PRINT “b^a=”;A END 点评:交换 a,b 的值可通过下面三个语句来实现:

t=a a=b b=t 通过引进一个中间变量 t 实现变量 a 和 b 的值的交换,因此只需用赋值语句即可实现算法.在一些较为复杂 的问题算法中经常需要对两个变量的值进行交换,因此应熟练掌握这种方法. 知能训练 1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确?为什么? (1)输入语句 INPUT a;b;c (2)输出语句 A=4 (3)赋值语句 3=B (4)赋值语句 A=B=-2 解:

(1)错,变量之间应用“,”号隔开. (2)错,PRINT 语句不能用赋值号“=”. (3)错,赋值语句中“=”号左右不能互换. (4)错,一个赋值语句只能给一个变量赋值. 点评:输入语句、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构.输入语句、输出语句和赋值语句都 第 33 页 共 140 页 不包括“控制转移”,由它们组成的程序段必然是顺序结构. 2.请写出下面运算输出的结果. (1)a=5 b=3 c=(a+b)/2 d=c*c PRINT“d=”;d (2)a=1 b=2 c=a+b b=a+c-b PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c (3)a=10 b=20 c=30 a=b b=c c=a PRINT “a=,b=,c=” ;a,b,c 解:

(1)16;语句 c=(a+b)/2 是将 a,b 和的一半赋值给变量 c,语句 d=c*c 是将 c 的平方赋值给 d,最后输 出 d 的值. (2)1,2,3;语句 c=a+b 是将 a,b 的和赋值给 c,语句 b=a+c-b 是将 a+c-b 的值赋值给了 b. (3)20,30,20;经过语句 a=b 后 a,b,c 的值是 20,20,30.经过语句 b=c 后 a,b,c 的值是 20,30, 30.经过语句 c=a 后 a,b,c 的值是 20,30,20. 点评:语句的识别问题是一个逆向性思维,一般我们认为我们的学习是从算法步骤(自然语言)至程序框 图,再到算法语言(程序).如果将程序摆在我们的面前时,我们要先识别每个语句,再整体把握并概括出 程序的功能. 拓展提升 已知某生某三科的成绩为 80、75、95 分,求三科的总分及平均分. 分析:将三科成绩赋给三个变量 A,B,C,然后对三个变量进行操作、运算,求其总分、平均分.变量的 起名规则:由字母、数字、下划线组成,但第一个字符必须是字母(大、小写皆可) ,起名时尽量做到见 名知义,如本例中我们可用变量?ZF 表示总分,PJF 表?示平均分. 解:程序框图如下图: 程序:

A=80 第 34 页 共 140 页 B=75 C=95 ZF=A+B+C PJF=ZF/3 PRINT ZF,PJF END 课堂小结 (1)输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法. (2)用输入语句、输出语句和赋值语句编写算法语句. 作业?习题 1.2A 组 2. 设计感想 本节的引入阐明了程序框图与算法语句的关系,本节利用框图与语句的对应关系降低了本节的学习难 度.由于本节是算法语句的开始,所以本节选用了大量难度较低的算法语句供学生练习,让学生充分体会程 序框图与算法语句的关系,为今后的学习打好基础并树立信心. 第 35 页 共 140 页 1.2.2 条件语句 整体设计 教学分析 通过上一节的学习,学生学会了输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法,本节介绍条件语句的用 法. 程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系,这种对应关系对于学生理解条件语句 的结构,进一步理解算法中的条件结构都是很有帮助的.我们可以给出条件语句的一般格式,让学生自己画 出相应的程序框图,也可以给出程序框图,让学生写出算法语句. 三维目标 1.理解学习基本算法语句的意义. 2.学会条件语句的基本用法. 3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系,学会算法语句的写法. 重点难点 教学重点:条件语句的基本用法. 教学难点:算法语句的写法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 一位老农平整了一块良田, 种瓜好呢, 还是种豆好呢, 他面临着一个选择.如果他选择种瓜, 他会得瓜, 如果他选择种豆,他会得豆.人的一生面临许多选择,我们要做出正确的选择.前面我们学习了条件结构, 今天我们学习条件语句. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图,上一节我们学习了输入 语句、输出语句、赋值语句,今天我们开始学习条件语句. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)回忆程序框图中的两种条件结构. (2)指出条件语句的格式及功能. (3)指出两种条件语句的相同点与不同点. (4)揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系. 讨论结果:

(1)一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就 是处理这种过程的结构. 用程序框图表示条件结构如下图: (2)条件语句 1°“IF—THEN—ELSE”语句 格式: 第 36 页 共 140 页 IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 功能:

在“IF—THEN—ELSE”语句中, “条件”表示判断的条件, “语句体 1”表示满足条件时执行的操作内容; “ 语 句 体 2” 表 示 不 满 足 条 件 时 执 行 的 操 作 内 容 ; END IF 表 示 条 件 语 句 的 结 束 . 计 算 机 在 执 行 “IF—THEN—ELSE”语句时, 首先对 IF 后的条件进行判断, 如果符合条件, 则执行 THEN 后面的“语句 1”; 若不符合条件,则执行 ELSE 后面的“语句 2”. 2°“IF—THEN”语句 格式:

IF 条件 THEN 语句体 END IF 功能:“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,直接结束判断过 程;END IF 表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN”语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果 符合条件就执行 THEN 后边的语句,若不符合条件则直接结束该条件语句,转而执行其他后面的语句. (3)相同点:首先对 IF 后的条件进行判断,如果符合条件就执行 THEN 后边的语句. 不同点:对于“IF—THEN—ELSE”语句,若不符合条件,则执行 ELSE 后面的“语句体 2”. 对于“IF—THEN”语句,若不符合条件则直接结束该条件语句,转而执行其他后面的语句. (4)程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图: 应用示例 思路 1 例 1 编写一个程序,求实数 x 的绝对值. 算法分析:首先,我们来设计求实数 x 的绝对值的算法,因为实数 x 的绝对值为 |x|= ? ? x( x ? 0), ?? x( x ? 0), 所以算法步骤可以写成:

第一步,输入一个实数 x. 第二步,判断 x 的符号.若 x≥0,则输出 x;否则,输出-x. 显然,“第二步”可以用条件结构来实现. 程序框图如下图: 第 37 页 共 140 页 程序:

INPUT x IF x>=0 THEN PRINT x ELSE PRINT -x END IF END 点评:通过本题我们看到算法步骤可以转化为程序框图,程序框图可以转化为算法语句.本题揭示了它们之 间的内在联系,只要理解了程序框图与算法语句的对应关系,把程序框图转化为算法语句就很容易了. 变式训练 阅读下面的程序,你能得出什么结论? INPUT x IF x<0 THEN x=-x END IF PRINT x END 解:由程序得出,该程序是输出 x 的绝对值. 例 2 把前面求解一元二次方程 ax2+bx+c=0 的程序框图转化为程序. 解:

由程序框图可以发现, 其中包含着两个条件结构, 而且内层的条件结构是外层的条件结构的一个分支, 所以,可以用“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化. 程序:

INPUT “a,b,c=”;a,b,c d=b^2-4*a*c IF d>=0 THEN p=-b/(2*a) q=SQR(d)/(2*a) IF d=0 THEN PRINT “x1=x2=”;p ELSE PRINT “x1,x2=”;p+q,p-q END IF ELSE PRINT“No real root” END IF END 例 3 编写程序,使任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出. 第 38 页 共 140 页 算法分析:用 a,b,c 表示输入的 3 个整数.为了节约变量,把它们重新排列后,仍用 a,b,c 表示,并使 a≥b≥c.具体操作步骤如下:

第一步,输入 3 个整数 a,b,c. 第二步,将 a 与 b 比较,并把小者赋给 b,大者赋给 a. 第三步,将 a 与 c 比较,并把小者赋给 c,大者赋给 a(此时 a 已是三者中最大的). 第四步,将 b 与 c 比较,并把小者赋给 c,大者赋给 b(此时 a,b,c 已按从大到小的顺序排列好). 第五步,按顺序输出 a,b,c. 如下图所示,上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来. 根据程序框图,写出相应的计算机程序. INPUT “a,b,c=”;a,b,c IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF IF c>a THEN t=a a=c c=t END IF IF c>b THEN t=b b=c c=t END IF PRINT a,b,c END 思路 2 第 39 页 共 140 页 例 1 编写程序,输出两个不相等的实数 a、b 的最大值. 分析:要输出两个不相等的实数 a、b 的最大值,从而想到对 a,b 的大小关系进行判断,a,b 的大小关系 有两种情况:

(1)a>b; (2)b>a.这也就用到了我们经常提及的分类讨论的方式,找出两个数的最大值. 解:算法一:

第一步,输入 a, b 的数值. 第二步,判断 a,b 的大小关系,若 a>b,则输出 a 的值,否则,输出 b 的值. (程序框图如下图) 程序如下:

(“IF—THEN—ELSE”语句) INPUT “a,b”;a,b IF a>b THEN PRINT a ELSE PRINT b END IF END 算法二:

第一步,输入 a,b 的数值. 第二步,判断 a,b 的大小关系,若 b>a,则将 b 的值赋予 a;否则,直接执行第三步. 第三步,输出 a 的值,结束. (程序框图如下图) 程序如下:

(“IF—THEN”语句) INPUT “a,b”;a,b IF b>a THEN a=b END IF PRINT a END 点评:设计一个“好”的算法需要在大量的算法设计中积累经验.我们也可以先根据自己的思路设计算法,再 与 “成形”的、高效的、优秀的算法比较,改进思路,改进算法,以避免重复计算等问题,提高算法设计的 水平. 第 40 页 共 140 页 (2)我们在平常的训练中尽可能地少引用变量,过多的变量不仅会使得算法和程序变得复杂,而且不利 于计算机的执行.为此,我们在练习中要尽可能少引入变量并且要积极思考才能少引入变量. ?1, x ? 0, ? 例 2 高等数学中经常用到符号函数,符号函数的定义为 y= ?0, x ? 0, 试编写程序输入 x 的值,输出 y 的 ?? 1, x ? 0, ? 值. 解:程序一:

(嵌套结构) 程序框图:

(下图) 程序如下:

INPUT x IF x>0 THEN y=1 ELSE IF x=0 THEN y=0 ELSE y=-1 END IF END IF PRINT y END 程序二:

(叠加结构) 程序框图(右图) : 第 41 页 共 140 页 程序如下:

INPUT x IF x>0 THEN y=1 END IF IF x=0 THEN y=0 END IF IF x<0 THEN y=-1 END IF PRINT y END 点评:

(1)条件结构的差异,造成程序执行的不同.当代入 x 的数值时,“程序一”先判断外层的条件,依次 执行不同的分支,随后再判断内层的条件;而“程序二”中执行了对“条件 1”的判断,同时也对“条件 2”进行 判断,是按程序中条件语句的先后依次判断所有的条件,满足哪个条件就执行哪个语句. (2)条件语句的嵌套可多于两层,可以表达算法步骤中的多重限制条件. 知能训练 中国网通规定:拨打市内电话时,如果不超过 3 分钟,则收取话费 0.22 元;如果通话时间超过 3 分钟,则 超出部分按每分钟 0.1 元收取通话费, 不足一分钟按以一分钟计算.设通话时间为 (分钟)通话费用 y 元) t , ( , 如何设计一个程序,计算通话的费用. 解:算法程序如下:

INPUT “请输入通话时间:”;t IF t<=3 THEN y=0.22 ELSE IF INT(t)=t THEN y=0.22+0.1*(t-3) ELSE y=0.22+0.1*(INT(t-3)+1) END IF END IF PRINT “通话费用为:”;y END 拓展提升 ?2 x,0 ? x ? 4, ? 函数 y= ?8,4 ? x ? 8, 写出求函数的函数值的程序. ?2(12 ? x ),8 ? x ? 12, ? 解:INPUT x=”;x IF x>=0 and x<=4 THEN y=2*x ELSE IF x<=8 THEN y=8 ELSE y=2*(12-x) END IF 第 42 页 共 140 页 END IF PRINT y END 课堂小结 (1)条件语句的用法. (2)利用条件语句编写算法语句. 作业 习题 1.2 B 组 1. 设计感想 条件语句是算法语句的基础和核心,本节设计以条件结构和条件语句的对应关系为基础,引导学生将 程序框图转化为算法语句.本节的难点是正确区分叠加结构和镶嵌结构,并会应用它们编写算法语句.本节 选用大量精彩题目让学生反复训练,使学生熟练掌握程序框图与算法语句的关系,达到解决本节难点的目 的. 第 43 页 共 140 页 1.2.3 循环语句 整体设计 教学分析 通过前面的学习,学生学会了输入语句、输出语句、赋值语句和条件语句的基本用法,本节将介绍循 环语句的用法. 程序中的循环语句与程序框图中的循环结构存在一一对应关系,这种对应关系对于学生理 解循环语句的结构,进一步理解算法中的循环结构都是很有帮助的.我们可以给出循环语句的一般格式,让 学生自己画出相应的程序框图,也可以给出程序框图,让学生写出算法语句,提高学生的应用能力. 三维目标 1.理解学习基本算法语句的意义. 2.学会循环语句的基本用法. 3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系,学会算法语句的写法. 重点难点 教学重点:循环语句的基本用法. 教学难点:循环语句的写法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 一位同学不小心违反了学校纪律,班主任令其写检查,他写完后交给班主任,班主任看后说:

“认识 不深刻,拿回去重写,直到认识深刻为止”.这位同学一想,这不是一个循环结构吗?可惜我还没学循环语 句,不然可以写一个算法语句输入计算机了.同学们,今天我们开始学习循环语句. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图,上一节我们学习了输入 语句、输出语句、赋值语句和条件语句,今天我们开始学习循环语句. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)试用程序框图表示循环结构. (2)指出循环语句的格式及功能. (3)指出两种循环语句的相同点与不同点. (4)揭示程序中的循环语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系. 讨论结果:

(1)循环结构 循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构. 1°当型循环结构,如图(1)所示 2°直到型循环结构,如图(2)所示, (1)当型循环结构 (2)循环语句 1°当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为: 第 44 页 共 140 页 (2)直到型循环结构 WHILE 条件 循环体 WEND 功能:计算机执行此程序时,遇到 WHILE 语句,先判断条件是否成立,如果成立,则执行 WHILE 和 WEND 之间的循环体;然后返回到 WHILE 语句再判断上述条件是否成立,如果成立,再执行循环体, 这个过程反复执行,直到一次返回到 WHILE 语句判断上述条件不成立为止,这时不再执行循环体,而是 跳到 WEND 语句后,执行 WEND 后面的语句.因此当型循环又称“前测试型”循环,也就是我们经常讲的 “先测试后执行” “先判断后循环”. 2°直到型循环语句 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为:

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 功能:

计算机执行 UNTIL 语句时, 先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体, 然后判断 “LOOP UNTIL” 后面的条件是否成立,如果条件不成立,返回 DO 语句处重新执行循环体.这个过程反复执行,直到一次判 断 “LOOP UNTIL” 后面的条件成立为止, 这时不再返回执行循环体, 而是跳出循环体执行 “LOOP UNTIL 条件”下面的语句. 因此直到型循环又称“后测试型”循环,也就是我们经常讲的“先执行后测试” “先循环后判断”. (3)相同点:都是反复执行循环体语句. 不同点:当型循环语句是先判断后循环,直到型循环语句是先循环后判断. (4)下面为循环语句与程序框图中的条件结构的一一对应关系. 1°直到型循环结构: 2°当型循环结构: 应用示例 思路 1 例 1 修改前面编写过的求函数 y=x3+3x2-24x+30 的值的程序,连续输入 11 个自变量的取值,输出相应的 函数值. 算法分析:与前面不同的是,本例要求连续输入 11 个自变量的取值.并输出相应的函数值,先写出解决本 例的算法步骤:

第一步,输入自变量 x 的值. 第 45 页 共 140 页 第二步,计算 y=x3+3x2-24x+30. 第三步,输出 y. 第四步,记录输入次数. 第五步,判断输入的次数是否大于 11.若是,则结束算法;否则,返回第一步. 显然,可以用计数变量 n(1≤n≤11)记录次数,通过循环结构来实现算法. 程序框图如下图: 程序:

n=1 DO INPUT x y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT y n=n+1 LOOP UNTIL n>11 END 例 2 教材中的用“二分法”求方程 x2-2=0(x>0)的近似解的程序框图(见教材图 1.120)包含了顺序结 构、条件结构和循环结构.下面,我们把这个程序框图转化为相应的程序. 解:程序为:

INPUT “a,b,d=” ;a,b,d DO m=(a+b)/2 g=a^2-2 f=m^2-2 IF g*f<0 THEN b=m ELSE a=m END IF LOOP UNTIL ABS(a-b)<d OR f=0 PRINT m END 点评:ABS()是一个函数,用来求某个数的绝对值,即 ABS(x)=|x|. 例 3 设计一个计算 1×3×5×7×?×99 的算法,编写算法程序. 第 46 页 共 140 页 解:算法如下:

第一步,s=1. 第二步,i=3. 第三步,s=s×i. 第四步,i=i+2. 第五步,如果 i≤99,那么转到第三步. 第六步,输出 s. 程序如下:“WHILE 型”循环语句) ( s=1 i=3 WHILE i<=99 s=s*i i=i+2 WEND PRINT s END 点评:前面我们已经学过“求和”问题,这是一个“求积”问题,这两个问题都是典型的算法问题,注意 它们的联系与区别. 例 4 编写一个程序,求 1!+2!+?+10!的值(其中 n!=1×2×3×?×n). 分析:这个问题可以用“WHILE+ WHILE”循环嵌套语句格式来实现. 程序结构要做到如下步骤:

①处理“n! ”的值; (注:处理 n!的值的变量是一个内循环变量) ②累加“n! ”的值.(注:累加 n!的值的变量是一个外循环变量) 显然,通过 10 次循环可分别求出 1!、2!、?、10!的值,并同时累加起来, 可求得 S 的值.而求 T=n! ,又可 以用一个循环(内循环)来实现. 解:程序为:

s=0 i=1 WHILE i<=10 j=1 t=1 WHILE j<=i t=t*j j=j+1 WEND s=s+t i=i+1 WEND PRINT s END 思考:上面程序中哪个变量是内循环变量,哪个变量是外循环变量? 解答:内循环变量:j,t.外循环变量:s,i. 上面的程序是一个的“WHILE+WHILE”型循环嵌套语句格式.这是一个比较好想的方法,但实际上对 于求 n! ,我们也可以根据求出的(n-1)!乘上 n 即可得到,而无需重新从 1 再累乘到 n. 程序可改为:

s=0 第 47 页 共 140 页 i=1 j=1 WHILE i<=10 j=j*i s=s+j i=i+1 WEND PRINT s END 显然第二个程序的效率要比第一个高得多.第一程序要进行 1+2+?+10=55 次循环, 而第二程序进行 10 次循环.如题目中求的是 1!+2!+?+1 000! ,则两个程序的效率区别会更明显. 点评:解决具体的构造循环语句的算法问题,要尽可能地少引入循环变量,否则较多的变量会使得设计程 序比较麻烦,并且较多的变量会使得计算机占用大量的系统资源,致使系统缓慢.另外,也尽可能使得循环 嵌套的层数少,否则也浪费计算机的系统资源. 变式训练 某种蛋白质是由四种氨基酸组合而成.这四种氨基酸的相对分子质量分别是 57,71,97,101.实验测定 蛋白质的相对分子质量为 800.问这种蛋白质的组成有几种可能? 分析:该问题即求如下不定方程的整数解:设四种氨基酸在蛋白质的组成中分别各有 x,y,z,w 个.则由 题意可得 57x+71y+97z+101w=800, (x,y,z,w 是非负整数) 这里 0≤x≤14,0≤y≤11,0≤z≤8,0≤w≤7,利用穷取法,考虑一切可能出现的情况.运用多层循 环嵌套处理即可. 解:编写程序如下:

w=0 WHILE w<=7 z=0 WHILE z<=8 y=0 WHILE y<=11 x=0 WHILE x<=14 IF 57*x+71*y+97*z+101*w=800 THEN PRINT x,y,z,w END IF x=x+1 WEND y=y+1 WEND z=z+1 WEND w=w+1 WEND END 知能训练 设计算法求 1 1 1 1 ? ? ??? 的值.要求画出程序框图,写出用基本语句编写的程序. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100 第 48 页 共 140 页 解:这是一个累加求和问题,共 99 项相加,可设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结构实现这一 算法.程序框图如下图所示: 程序如下:

s=0 i=1 Do s=s+1/(i*(i+1)) i=i+1 LOOP UNTIL i>99 PRINT s END 拓展提升 青年歌手电视大赛共有 10 名选手参加,并请了 12 名评委,在计算每位选手的平均分数时,为了避免 个别评委所给的极端分数的影响, 必须去掉一个最高分和一个最低分后再求平均分.试设计一个算法解决该 问题,要求画出程序框图,写出程序(假定分数采用 10 分制,即每位选手的分数最高分为 10 分,最低分 为 0 分). 解:由于共有 12 位评委,所以每位选手会有 12 个分数,我们可以用循环语句来完成这 12 个分数的输入, 同时设计累加变量求出这 12 个分数的和,本问题的关键在于从这 12 个输入分数中找出最大数与最小数, 以便从总分中减去这两个数.由于每位选手的分数都介于 0 分和 10 分之间,我们可以先假设其中的最大数 为 0,最小数为 10,然后每次输入一个评委的分数,就进行一次比较,若输入的数大于 0,就将之代替最大 数,若输入的数小于 10,就用它代替最小数,依次下去,就能找出这 12 个数中的最大数与最小数,循环 结束后,从总和中减去最大数与最小数,再除以 10,就得到该选手最后的平均分. 程序框图如右图: 第 49 页 共 140 页 程序如下:s=0 i=1 max=0 min=10 DO INPUT x s=s+x IF max<=x THEN max=x END IF IF min>=x THEN min=x END IF i=i+1 LOOP UNTIL i>12 s1=s-max-min a=s1/10 PRINT a END 课堂小结 (1)学会两种循环语句的应用. (2)熟练应用两种循环语句编写计算机程序,巩固算法应用. 作业 习题 1.2A 组 3. 设计感想 本节的导入符合学生心理要求, 能够激发学生的学习兴趣.算法像一个故事, 循环语句就是故事的高潮, 它以前面的内容为基础, 是前面内容的总结和发展.本节选用了大量的精彩例题为故事高潮的到来作好了铺 垫,精彩的点评把本节推向了高潮,所以本节教案值得期待. 第 50 页 共 140 页 1.3 算法案例 整体设计 教学分析 在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后,再 结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算 法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 三维目标 1.理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2.引导学生得出自己设计的算法程序. 3. 体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 重点难点 教学重点:引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. 教学难点:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 案例 1 辗转相除法与更相减损术 导入新课 思路 1(情境导入) 大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直 握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学,我们学过求两个正整数的最 大公约数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除 数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如?8 251?与 6 105) ,使用上述方法求最大公约数就比较困 难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了算法步骤、 程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体 会算法的思想. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)怎样用短除法求最大公约数? (2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数? (3)怎样用辗转相除法求最大公约数? (4)怎样用更相减损术求最大公约数? 讨论结果:

(1)短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互 质数为止,然后把所有的除数连乘起来. (2)穷举法(也叫枚举法) 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约 数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数. (3)辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下:

第一步,给定两个正整数 m,n. 第 51 页 共 140 页 第二步,求余数 r:计算 m 除以 n,将所得余数存放到变量 r 中. 第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r. 第四步,判断余数 r 是否为 0.若余数为 0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行. 如此循环,直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的,因而又叫欧 几里得算法. (4)更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著, 其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数, 以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下:

第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用 2 约简;若不是,执行第二步. 第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操 作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 应用示例 例 1 用辗转相除法求 8 251 与 6 105 的最大公约数,写出算法分析,画出程序框图,写出算法程序. 解:用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8 251=6 105× 1+2 146. 由此可得, 105 与 2 146 的公约数也是 8 251 与 6 105 的公约数, 6 反过来, 251 与 6 105 的公约数也是 6 105 8 与 2 146 的公约数,所以它们的最大公约数相等. 对 6 105 与 2 146 重复上述步骤:6 105=2 146× 2+1 813. 同理,2 146 与 1 813 的最大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约数.继续重复上述步骤:

2 146=1 813× 1+333, 1 813=333× 5+148, 333=148× 2+37, 148=37× 4. 最后的除数 37 是 148 和 37 的最大公约数,也就是 8 251 与 6 105 的最大公约数. 这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后 完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数. 算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下:

第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数为 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则,返回第二步. 程序框图如下图: 第 52 页 共 140 页 程序:

INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 点评:从教学实践看,有些学生不能理解算法中的转化过程,例如:求 8 251 与 6 105 的最大公约数,为什 么可以转化为求 6 105 与 2 146 的公约数.因为 8 251=6 105× 1+2 146, 可以化为 8 251-6 105× 1=2 164,所以公约数能够整除等式两边的数,即 6 105 与 2 146 的公约数也是 8 251 与 6 105 的公约数. 变式训练 你能用当型循环结构构造算法,求两个正整数的最大公约数吗?试画出程序框图和程序. 解:当型循环结构的程序框图如下图: 程序:

INPUT m,n r=1 WHILE r>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解:由于 63 不是偶数,把 98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,如下图所示. 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 第 53 页 共 140 页 21-7=14 14-7=7 所以,98 和 63 的最大公约数等于 7. 点评:更相减损术与辗转相除法的比较:尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著,但是二者的算 理却是相似的,有异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,即辗转相除;而更相减损 术进行的是减法运算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程. 变式训练 用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324,243,135 的最大公约数. 解:324=243× 1+81, 243=81× 3+0, 则 324 与 243 的最大公约数为 81. 又 135=81× 1+54,81=54× 1+27, 54=27× 2+0, 则 81 与 135 的最大公约数为 27. 所以,三个数 324、243、135 的最大公约数为 27. 另法:324-243=81,243-81=162,162-81=81,则 324 与 243 的最大公约数为 81. 135-81=54,81-54=27,54-27=27,则 81 与 135 的最大公约数为 27. 所以,三个数 324、243.135 的最大公约数为 27. 例 3 (1)用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数. (2)用更相减损术求 80 和 36 的最大公约数. 解:

(1)辗转相除法求最大公约数的过程如下:

123=2× 48+27, 48=1× 27+21, 27=1× 21+6, 21=3× 6+3, 6=2× 3+0, 最后 6 能被 3 整除,得 123 和 48 的最大公约数为 3. (2)我们将 80 作为大数,36 作为小数,因为 80 和 36 都是偶数,要除公因数 2. 80÷ 2=40,36÷ 2=18. 40 和 18 都是偶数,要除公因数 2. 40÷ 2=20,18÷ 2=9. 下面来求 20 与 9 的最大公约数, 20-9=11, 11-9=2, 9-2=7, 7-2=5, 5-2=3, 3-2=1, 2-1=1, 可得 80 和 36 的最大公约数为 22× 1=4. 点评:对比两种方法控制好算法的结束,辗转相除法是到达余数为 0,更相减损术是到达减数和差相等. 变式训练 分别用辗转相除法和更相减损术求 1 734,816 的最大公约数. 解:辗转相除法:

1 734=816× 2+102,816=102× 8(余 0) , ∴1 734 与 816 的最大公约数是 102. 第 54 页 共 140 页 更相减损术:因为两数皆为偶数,首先除以 2 得到 867,408,再求 867 与 408 的最大公约数. 867-408=459, 459-408=51, 408-51=357, 357-51=306, 306-51=255, 255-51=204, 204-51=153, 153-51=102, 102-51=51. ∴1 734 与 816 的最大公约数是 51× 2=102. 利用更相减损术可另解:

1 734-816=918, 918-816=102, 816-102=714, 714-102=612, 612-102=510, 510-102=408, 408-102=306, 306-102=204, 204-102=102. ∴1 734 与 816 的最大公约数是 102. 知能训练 求 319,377,116 的最大公约数. 解:377=319× 1+58, 319=58× 5+29, 58=29× 2. ∴377 与 319 的最大公约数为 29,再求 29 与 116 的最大公约数. 116=29× 4. ∴29 与 116 的最大公约数为 29. ∴377,319,116 的最大公约数为 29. 拓展提升 试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序. 解:更相减损术程序:

INPUT “m,n=”;m,n WHILE m<>n IF m>n THEN m=m-n ELSE m=n-m END IF WEND PRINT m END 课堂小结 (1)用辗转相除法求最大公约数. 第 55 页 共 140 页 (2)用更相减损术求最大公约数. 思想方法:递归思想. 作业 分别用辗转相除法和更相减损术求 261,319 的最大公约数. 分析:本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用.使用辗转相除法可依据 m=nq+r,反复执行,直 到 r=0 为止;用更相减损术就是根据 m-n=r,反复执行,直到 n=r 为止. 解:辗转相除法:

319=261× 1+58, 261=58× 4+29, 58=29× 2. ∴319 与 261 的最大公约数是 29. 更相减损术:

319-261=58, 261-58=203, 203-58=145, 145-58=87, 87-58=29, 58-29=29, ∴319 与 261 的最大公约数是 29. 设计感想 数学不仅是一门科学,也是一种文化,本节的引入从东、西方文化的不同开始,逐步向学生渗透数学 文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数,从思想方法方面,主要学习递归思想. 本节设置精彩例题, 不仅让学生学到知识, 而且让学生进一步体会算法的思想, 培养学生的爱国主义情操. 第 2 课时 案例 2 秦九韶算法 导入新课 思路 1(情境导入) 大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃,而虫子却是先钻到苹果里面从里到外 一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的 值呢?方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算法. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术, 今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值有哪些方法?比较它们的特点. (2)什么是秦九韶算法? (3)怎样评价一个算法的好坏? 讨论结果:

(1)怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值呢? 一个自然的做法就是把 5 代入多项式 f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了 1+2+3+4=10 次乘法运算,5 次加法运算. 另一种做法是先计算 x2 的值,然后依次计算 x2· (x2· x,(x2· x)· 的值,这样每次都可以利 x, x)· ( x)· x 用上一次计算的结果,这时,我们一共做了 4 次乘法运算,5 次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说, 做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计算机能更快地得到结果. (2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南宋时期的数学家秦九韶(约 1202~1261)在他的著作《数书 第 56 页 共 140 页 九章》中提出了下面的算法:

把一个 n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成如下形式:

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+ a0 =( nxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 (a =… =(…( nx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. (a 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, … vn=vn-1x+a0, 这样,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. (3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志仍然是运算的 次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数, 那么这样的算法就只能是一个理论的 算法. 应用示例 例 1 已知一个 5 次多项式为 f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8, 用秦九韶算法求这个多项式当 x=5 时的值. 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:

f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=5 时的值:

v0=5; v1=5× 5+2=27;

v2=27× 5+3.5=138.5;

v3=138.5× 5-2.6=689.9;

v4=689.9× 5+1.7=3 451.2;

v5=3 415.2× 5-0.8=17 255.2;

所以,当 x=5 时,多项式的值等于 17 255.2. 算法分析:观察上述秦九韶算法中的 n 个一次式,可见 vk 的计算要用到 vk-1 的值,若令 v0=an,我们可以 得到下面的公式: ?v0 ? an , ? ?vk ? vk ?1 x ? an?k (k ? 1,2,?, n). 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现. 算法步骤如下:

第一步,输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步,将 v 的值初始化为 an,将 i 的值初始化为 n-1. 第三步,输入 i 次项的系数 ai. 第四步,v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断 i 是否大于或等于 0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值 v. 程序框图如下图: 第 57 页 共 140 页 程序:

INPUT “n=”;n INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END 点评:本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合,详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法 语句,是一个典型的算法案例. 变式训练 请以 5 次多项式函数为例说明秦九韶算法,并画出程序框图. 解:设 f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 首先,让我们以 5 次多项式一步步地进行改写:

f(x)=(a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1)x+a0 =( 5x3+a4x2+ a3x+a2)x+a1)x+a0 (a =((a5x2+a4x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0 ( =(( 5x+a4)x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0. ((a 上面的分层计算,只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由里向外逐层计算,直到最外层的 括号,然后加上常数项即可. 程序框图如下图: 第 58 页 共 140 页 k 例 2 已知 n 次多项式 Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,如果在一种算法中,计算 x0 (k=2,3,4,…,n) 的值需要 k-1 次乘法,计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) ,那么计算 P10(x0)的值共需 要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,?,n -1) .利用该算法,计算 P3(x0)的值共需要 6 次运算,计算 P10(x0)的值共需要___________次运算. 答案:65 20 点评:

秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可 到达 ( n ? 1) n ,加法最多 n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次,加法最多 n 次. 2 例 3 已知多项式函数 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,求当 x=5 时的函数的值. 解析:把多项式变形为:f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7. 计算的过程可以列表表示为: 最后的系数 2 677 即为所求的值. 算法过程:

v0=2; v1=2× 5-5=5; v2=5× 5-4=21; v3=21× 5+3=108; v4=108× 5-6=534; v5=534× 5+7=2 677. 点评:如果多项式函数中有缺项的话,要以系数为 0 的项补齐后再计算. 知能训练 当 x=2 时,用秦九韶算法求多项式 f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6 的值. 解法一:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:

f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6. 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=2 时的值. v0=3;

v1=v0× 2+8=3× 2+8=14;

v2=v1× 2-3=14× 2-3=25;

v3=v2× 2+5=25× 2+5=55;

v4=v3× 2+12=55× 2+12=122;

v5=v4× 2-6=122× 2-6=238. ∴当 x=2 时,多项式的值为 238. 第 59 页 共 140 页 解法二:f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 则 f(2)=((((3× 2+8)× 2-3)× 2+5)× 2+12)× 2-6=238. 拓展提升 用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值. 解:f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x v0=7; v1=7× 3+6=27; v2=27× 3+5=86; v3=86× 3+4=262; v4=262× 3+3=789; v5=789× 3+2=2 369; v6=2 369× 3+1=7 108; v7=7 108× 3+0=21 324. ∴f(3)=21 324. 课堂小结 1.秦九韶算法的方法和步骤. 2.秦九韶算法的计算机程序框图. 作业 已知函数 f(x)=x3-2x2-5x+8,求 f(9)的值. 解:f(x)=x3-2x2-5x+8=(x2-2x-5)x+8=((x-2)x-5)x+8 ∴f(9)=((9-2)× 9-5)× 9+8=530. 设计感想 古老的算法散发浓郁的现代气息,这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法. 通过对秦九韶算法的学习,对算法本身有哪些进一步的认识? 教师引导学生思考、讨论、概括,小结时要关注如下几点:

(1)算法具有通用的特点,可以解决一类 问题; (2)解决同一类问题,可以有不同的算法,但计算的效率是不同的,应该选择高效的算法; (3)算 法的种类虽多,但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等. 第 3 课时 案例 3 进位制 导入新课 情境导入 在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,爱好天文学的古 人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分 的历法.今天我们来学习一下进位制. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)你都了解哪些进位制? (2)举出常见的进位制. (3)思考非十进制数转换为十进制数的转化方法. (4)思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法. 活动:先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的 学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果:

(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统,约定满二进一,就是二进制;满十进一,就 是十进制;满十二进一,就是十二进制;满六十进一,就是六十进制等等.也就是说:“满几进一”就是几进 制,几进制的基数(都是大于 1 的整数)就是几. 第 60 页 共 140 页 (2)在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,爱好天文学的 古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十 分的历法. (3)十进制使用 0~9 十个数字.计数时,几个数字排成一行,从右起,第一位是个位,个位上的数字是几, 就表示几个一;第二位是十位,十位上的数字是几,就表示几个十;接着依次是百位、千位、万位…… 例如:十进制数 3 721 中的 3 表示 3 个千,7 表示 7 个百,2 表示 2 个十,1 表示 1 个一.于是,我们得到下 面的式子:

3 721=3× 3+7× 2+2× 1+1× 0. 10 10 10 10 与十进制类似,其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同,所用的数字个数也 不同.如二进制用 0 和 1 两个数字,七进制用 0~6 七个数字. 一般地,若 k 是一个大于 1 的整数,那么以 k 为基数的 k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k). 其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式,如 110 011(2)=1× 5+1× 4+0× 3+0× 2+1× 1+1× 0, 2 2 2 2 2 2 3 2 1 0 7 342(8)=7× +3× +4× +2× . 8 8 8 8 非十进制数转换为十进制数比较简单,只要计算下面的式子值即可:

anan-1…a1a0(k)=an× n+an-1× n-1+…+a1× 0. k k k+a 第一步:从左到右依次取出 k 进制数 anan-1…a1a0(k)各位上的数字,乘以相应的 k 的幂,k 的幂从 n 开始取 值,每次递减 1,递减到 0,即 an× n,an-1× n-1,…,a1× 0× 0; k k k,a k 第二步:把所得到的乘积加起来,所得的结果就是相应的十进制数. (4)关于进位制的转换,教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解,并推广到十进制和其他进制 之间的转换.这样做的原因是,计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机 的数据是十进制数据,因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结 果为二进制数,同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出. 1°十进制数转换成非十进制数 把十进制数转换为二进制数,教科书上提供了“除 2 取余法”,我们可以类比得到十进制数转换成 k 进制数 的算法“除 k 取余法”. 2°非十进制之间的转换 一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与 16 进制数据之间的互化的方 法,也就是先由二进制数转化为十进制数,再由十进制数转化成为 16 进制数. 应用示例 思路 1 例 1 把二进制数 110 011(2)化为十进制数. 解:110 011(2)=1× 5+1× 4+0× 3+0× 2+1× 1+1× 0=1× 2 2 2 2 2 2 32+1× 16+1× 2+1=51. 点评:先把二进制数写成不同位上数字与 2 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制的运算规则计算出结果. 变式训练 设计一个算法,把 k 进制数 a(共有 n 位)化为十进制数 b. 算法分析:从例 1 的计算过程可以看出,计算 k 进制数 a 的右数第 i 位数字 ai 与 ki-1 的乘积 ai·i-1,再将其 k 累加,这是一个重复操作的步骤.所以,可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下:

第一步,输入 a,k 和 n 的值. 第二步,将 b 的值初始化为 0,i 的值初始化为 1. 第三步,b=b+ai·i-1,i=i+1. k 第四步,判断 i>n 是否成立.若是,则执行第五步;否则,返回第三步. 第五步,输出 b 的值. 程序框图如下图: 第 61 页 共 140 页 程序:

INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0 i=1 t=a MOD 10 DO b=b+t*k^(i-1) a=a\\10 t=a MOD 10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END 例 2 把 89 化为二进制数. 解:根据二进制数“满二进一”的原则,可以用 2 连续去除 89 或所得商,然后取余数.具体计算方法如下:

因为 89=2× 44+1,44=2× 22+0, 22=2× 11+0, 11=2× 5+1, 5=2× 2+1, 2=2× 1+0, 1=2× 0+1, 所以 89=2× (2× (2× (2× (2× 2+1)+1)+0)+0)+1 2 =2× (2× (2× (2× (2 +1)+1)+0)+0)+1 6 5 =…=1×2 +0× +1× 4+1× 3+0× 2+0× 1+1× 0 2 2 2 2 2 2 =1 011 001(2). 这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除法算式表示: 第 62 页 共 140 页 把上式中各步所得的余数从下到上排列,得到 89=1 011 001(2). 上述方法也可以推广为把十进制数化为 k 进制数的算法,称为除 k 取余法. 变式训练 设计一个程序,实现“除 k 取余法”. 算法分析:从例 2 的计算过程可以看出如下的规律:

若十制数 a 除以 k 所得商是 q0,余数是 r0,即 a=k·0+r0,则 r0 是 a 的 k 进制数的右数第 1 位数. q 若 q0 除以 k 所得的商是 q1,余数是 r1,即 q0=k·1+r1,则 r1 是 a 的 k 进制数的左数第 2 位数. q …… 若 qn-1 除以 k 所得的商是 0,余数是 rn,即 qn-1=rn,则 rn 是 a 的 k 进制数的左数第 1 位数. 这样,我们可以得到算法步骤如下:

第一步,给定十进制正整数 a 和转化后的数的基数 k. 第二步,求出 a 除以 k 所得的商 q,余数 r. 第三步,把得到的余数依次从右到左排列. 第四步,若 q≠0,则 a=q,返回第二步;否则,输出全部余数 r 排列得到的 k 进制数. 程序框图如下图: 程序:

INPUT “a,k=”;a,k b=0 i=0 DO q=a\\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 a=q 第 63 页 共 140 页 LOOP UNTIL q=0 PRINT b END 思路 2 例 1 将 8 进制数 314 706(8)化为十进制数,并编写出一个实现算法的程序. 解:314 706(8)=3× 5+1× 4+4× 3+7× 2+0× 1+6× 0=104 902. 8 8 8 8 8 8 所以,化为十进制数是 104 902. 点评:利用把 k 进制数转化为十进制数的一般方法就可以把 8 进制数 314 706(8)化为十进制数. 例 2 把十进制数 89 化为三进制数,并写出程序语句. 解:具体的计算方法如下:

89=3× 29+2, 29=3× 9+2, 9=3× 3+0, 3=3× 1+0, 1=3× 0+1, 所以:89(10)=10 022(3). 点评:根据三进制数满三进一的原则,可以用 3 连续去除 89 及其所得的商,然后按倒序的顺序取出余数 组成数据即可. 知能训练 将十进制数 34 转化为二进制数. 分析:把一个十进制数转换成二进制数,用 2 反复去除这个十进制数,直到商为 0,所得余数(从下往上 读)就是所求. 解: 即 34(10)=100 010(2) 拓展提升 把 1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数. 解:1 234(5)=1× 3+2× 2+3× 5 5 5+4=194. 则 1 234(5)=302(8) 所以,1 234(5)=194=302(8) 点评:本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化.五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数;五 进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化. 课堂小结 (1)理解算法与进位制的关系. (2)熟练掌握各种进位制之间转化. 作业 习题 1.3A 组 3、4. 设计感想 计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据,因 第 64 页 共 140 页 此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结果为二进制数,同时,计 算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.因此学好进位制是非常必要的,另外,进位制也是高考 的重点,本节设置了多种题型供学生训练,所以这节课非常实用. 第 65 页 共 140 页 第 2 课时 导入新课 思路 1 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如 说:某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说. 事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着 一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变 量的线性相关——回归直线及其方程. 思路 2 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某 6 天卖出热茶的杯数与当天气 温的对照表:

气温/℃ 杯数 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64 如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?为解决这个问题我们 接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)作散点图的步骤和方法? (2)正、负相关的概念? (3)什么是线性相关? (4)看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢? (5)什么叫做回归直线? (6)如何求回归直线的方程?什么是最小二乘法?它有什么样的思想? (7)利用计算机如何求回归直线的方程? (8)利用计算器如何求回归直线的方程? 活动:学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导. 讨论结果:

(1)建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变 量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.(a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来 描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系. b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就 有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系) (2)如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角 到右下角的区域内,称为负相关. (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. (4)大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来 进一步分析. (5)如下图: 从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整 第 66 页 共 140 页 体 上 看 大致 在 一条 直 线附 近 , 我 们就 称 这两 个 变量 之 间 具有 线 性相 关 关系 , 这 条 直线 叫 做回 归直线 (regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与 体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有 线性相关关系的代表. (6)从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线. 那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢? 有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到 达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗? 有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样 做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗? 还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的 平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距. 同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行? (学生讨论:1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本 相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线 的斜率、截距.)教师:分别分析各方法的可靠性.如下图: 上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强. 实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经 过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式 第 67 页 共 140 页 n ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? i ?1 ? ? ?b ? n 2 ? ? ( xi ? x ) ? i ?1 ? ?a ? y ? bx. ? ?x y i ?1 n i n i ? nx y , (1) ? nx 2 ?x i ?1 2 i 其中,b 是回归方程的斜率,a 是截距. 推导公式①的计算比较复杂,这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn), ^ 且所求回归方程是 y =bx+a, 其中 a、b 是待定参数.当变量 x 取 xi(i=1,2,…,n)时可以得到 y =bxi+a(i=1,2,…,n), ^ ^ 它与实际收集到的 yi 之间的偏差是 yi- y =yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n). ^ 这样,用这 n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于(yi- y )可正可负,为了避 免相互抵消,可以考虑用 ? | yi ? y i | 来 代 替 , 但 由 于 它 含 有 绝 对 值 , 运 算 不 太 方 便 , 所 以 改 用 i ?1 n ^ Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 ② 来刻画 n 个点与回归直线在整体上的偏差. 这样,问题就归结为:当 a,b 取什么值时 Q 最小,即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算,a,b 的值由 公式①给出. 通过求②式的最小值而得出回归直线的方法, 即求回归直线, 使得样本数据的点到它的距离的平方和最小, 这一方法叫做最小二乘法(method of least square). (7)利用计算机求回归直线的方程. 根据最小二乘法的思想和公式①,利用计算器或计算机,可以方便地求出回归方程. 以 Excel 软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤 如下:

①在 Excel 中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图 (如下图) ,在菜单中选定“图表”中的“添 加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框. ②单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归直线. ③双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,得到回归 ^ 直线的回归方程 y =0.577x-0.448. 第 68 页 共 140 页 (8)利用计算器求回归直线的方程. 用计算器求这个回归方程的过程如下: ^ 所以回归方程为 y =0.577x-0.448. 正像本节开头所说的,我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中,找到了它们之间关 系的一个规律,这个规律是由回归直线来反映的. 直线回归方程的应用: ①描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系. ②利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进行估计,即 可得到个体 Y 值的容许区间. ③利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空 气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度. 应用示例 思路 1 例 1 有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热 饮杯数与当天气温的对比表:

摄氏温度/℃ 热饮杯数 -5 156 0 150 4 132 7 128 12 130 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54 (1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是 2 ℃,预测这天卖出的热饮杯数. 解:

(1)散点图如下图所示: 第 69 页 共 140 页 (2)从上图看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间呈负相关, 即气温越高,卖出去的热饮杯数越少. (3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,可用公式①求出回归方程的系数. ^ 利用计算器容易求得回归方程 y =-2.352x+147.767. ^ (4)当 x=2 时, y =143.063.因此,某天的气温为 2 ℃时,这天大约可以卖出 143 杯热饮. 思考 气温为 2 ℃时,小卖部一定能够卖出 143 杯左右热饮吗?为什么? 这里的答案是小卖部不一定能够卖出 143 杯左右热饮,原因如下:

1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的,存在随机误差,这种误差可以导致预测结果的 偏差. 2.即使截距和斜率的估计没有误差,也不可能百分之百地保证对应于 x 的预报值,能够与实际值 y 很接近. 我们不能保证点(x,y)落在回归直线上,甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近,事实上, ^ y=bx+a+e= y +e. ^ 这里 e 是随机变量,预报值 y 与实际值 y 的接近程度由随机变量 e 的标准差所决定. 一些学生可能会提出问题:既然不一定能够卖出 143 杯左右热饮,那么为什么我们还以“这天大约可 以卖出 143 杯热饮”作为结论呢?这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说,假如我们规定可以选择 连续的 3 个非负整数作为可能的预测结果,则我们选择 142,143 和 144 能够保证预测成功(即实际卖出 的杯数是这 3 个数之一)的概率最大. 例 2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料. 机动车辆数 x/千台 交通事故数 y/千件 95 6.2 110 7.5 112 7.7 120 8.5 129 8.7 135 9.8 150 10.2 180 13 (1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由; (2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程. 解:

(1)在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图. 直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系. 第 70 页 共 140 页 (2)计算相应的数据之和: ? xi =1 031, ? y i =71.6, i ?1 8 i ?1 8 8 ? xi2 =137 835, ? xi yi =9 611.7. i ?1 i ?1 8 将它们代入公式计算得 b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1. 思路 2 例 1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据:

施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 (1)画出上表的散点图;

(2)求出回归直线的方程. 解:(1)散点图如下图. (2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格: i xi yi xiyi 1 15 330 4 950 2 20 345 6 900 7 3 25 365 9 125 7 4 30 405 12 150 5 35 445 15 575 7 6 40 450 18 000 7 45 455 20 475 x ? 30, y ? 399.3, ? xi2 ? 7000 ? yi2 ? 1132725? xi yi ? 87175 , , i ?1 i ?1 i ?1 故可得到 b= 87175 ? 7 ? 30 ? 399 .3 ≈4.75, 7000 ? 7 ? 30 2 ^ a=399.3-4.75×30≈257. 从而得回归直线方程是 y =4.75x+257. 例 2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间. 为此进行了 10 次试验,测得数据如下:

零件个数 x(个) 加工时间 y(分) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122 请判断 y 与 x 是否具有线性相关关系,如果 y 与 x 具有线性相关关系,求线性回归方程. 解:在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图. 第 71 页 共 140 页 直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系.由测得的数据表可知: x ? 55, y ? 91.7, ? xi2 =38 500, ? yi2 =87 777, ? xi yi =55 950. i ?1 i ?1 i ?1 10 10 10 ?x y b= i ?1 10 i 10 i ? 10x y ? ? 10x 2 ?x i ?1 2 i 55950? 10 ? 55 ? 91.7 ≈0.668. 38500? 10 ? 552 a= y ? bx =91.7-0.668×55≈54.96. ^ 因此,所求线性回归方程为 y =bx+a=0.668x+54.96. 例 3 已知 10 条狗的血球体积及红血球数的测量值如下:

血球体积 x(mL) 红血球数 y(百万) 45 6.53 42 6.30 46 9.52 48 7.50 42 6.99 35 5.90 58 9.49 40 6.20 39 6.55 50 8.72 (1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程. 解:

(1)散点图如下. (2) x ? 1 (45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50, 10 y? 1 (6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37. 10 ^ ?x y i ?1 10 i 10 i ? 10x y =0.175,a= y ? bx =-0.418, 设回归直线方程为 y =bx+a,则 b= ?x i ?1 2 i ? 10x 2 ^ 所以所求回归直线的方程为 y =0.175x-0.148. 点评:对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数 a,b 的计算公式,算 第 72 页 共 140 页 出 a,b.由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误,求线性回归方程的 步骤:计算平均数 x, y ;计算 xi 与 yi 的积,求∑xiyi;计算∑xi2;将结果代入公式求 b;用 a= y ? bx 求 a;写 出回归直线方程. 知能训练 1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 答案:D 2.三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是( ) ^ ^ A. y =5.75-1.75x ^ B. y =1.75+5.75x ^ C. y =1.75-5.75x D. y =5.75+1.75x 答案:D 3.已知关于某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y(万元),有如下统计资料:

使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 ^ 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 设 y 对 x 呈线性相关关系.试求:

(1)线性回归方程 y =bx+a 的回归系数 a,b; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 答案:

(1)b=1.23,a=0.08; (2)12.38. 4.我们考虑两个表示变量 x 与 y 之间的关系的模型,δ 为误差项,模型如下:

模型 1:y=6+4x;模型 2:y=6+4x+e. (1)如果 x=3,e=1,分别求两个模型中 y 的值; (2)分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型. 解:

(1)模型 1:y=6+4x=6+4× 3=18; 模型 2:y=6+4x+e=6+4× 3+1=19. (2)模型 1 中相同的 x 值一定得到相同的 y 值,所以是确定性模型;模型 2 中相同的 x 值,因 δ 的不同,所得 y 值不一定相同,且 δ 为误差项是随机的,所以模型 2 是随机性模型. 5.以下是收集到的新房屋销售价格 y 与房屋大小 x 的数据:

房屋大小 x(m2) 销售价格 y (万元) 80 18.4 105 22 110 21.6 115 24.8 135 29.2 (1)画出数据的散点图; (2)用最小二乘法估计求线性回归方程. 解:

(1)散点图如下图. 第 73 页 共 140 页 (2)n=5, ? xi =545, x =109, ? y i =116, y =23.2, i ?1 i ?1 5 i ?1 5 5 ? xi2 =60 952, ? xi yi =12 952, i ?1 5 b= 5 ? 12952 ? 545 ? 116 ≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509, 5 ? 60952 ? 545 2 所以,线性回归方程为 y=0.199x+1.509. 拓展提升 某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出(Xi)与公司所获得利润(Yi)的统计资料如下表:

科研费用支出(Xi)与利润(Yi)统计表 单位:万元 年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 ^ ^ 科研费用支出 5 11 4 5 3 2 30 ^ 利润 31 40 30 34 25 20 180 要求估计利润(Yi)对科研费用支出(Xi)的线性回归模型. 解:设线性回归模型直线方程为:

Y i ? ? 0 ? ? 1 X i , 因为:

x ? ?X n Xi 5 11 4 5 3 2 30 i ? 30 =5, Y ? 6 Yi 31 40 30 34 25 20 180 ?Y n i ? 180 =30, 6 Xi2 25 121 16 25 9 4 200 Xi- X 0 6 -1 0 -2 -3 0 Yi- Y 1 10 0 4 -5 -10 0 (Xi- X )2 0 36 1 0 4 9 50 (Xi- X )(Yi- Y ) 0 60 0 0 10 30 100 根据资料列表计算如下表:

年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 XiYi 155 440 120 170 75 40 1 000 现求解参数 β0、β1 的估计值:

方法一:

? 1 ? ^ ^ ^ n? X ? (? X i ) 2 i n? X i Yi ? ? Yi 2 ? 6 ? 1000 ? 30 ? 180 6000 ? 5400 600 ? ? =2, 1200 ? 900 300 6 ? 200 ? 30 2 ? 0 ? Y ? ? 1 x =30-2×5=20. 方法二:

? 1 ? ^ ^ ^ ? X Y ? nx Y ? X ? n( x ) i i 2 i 2 ? 1000 ? 6 ? 5 ? 30 100 ? =2, 50 200 ? 6 ? 5 2 ? 0 ? Y ? ? 1 x =30-2×5=20. 第 74 页 共 140 页 方法三:

? 1 ? ^ ^ ^ ? ( X ? x )(Y ? Y ) ? 100 =2, 50 ? ( X ? x) i i 2 i ^ ? 0 ? Y ? ? 1 x =30-2×5=20. 所以利润(Yi)对科研费用支出(Xi)的线性回归模型直线方程为:

Y i =20+2Xi. 课堂小结 1.求线性回归方程的步骤:

(1)计算平均数 x, y ; (2)计算 xi 与 yi 的积,求∑xiyi;

(3)计算∑xi2,∑yi2, n ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ?b ? i ?1 n ? ? (4)将上述有关结果代入公式 ? 2 ? ( xi ? x ) ? i ?1 ? ?a ? y ? bx ? ?x y i ?1 n i n i ? nx y , ? nx 2 ?x i ?1 2 i 求 b,a,写出回归直线方程. 2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程 系数公式建立线性回归方程. 作业 习题 2.3A 组 3、4,B 组 1、2. 设计感想 本节课在上节课的基础上,利用实例分析了散点图的分布规律,推导出了线性回归直线的方程的求法,并 利用回归直线的方程估计可能的结果,本节课讲得较为详细,实例较多,便于同学们分析比较.思路 1 和思路 2 的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情 操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度,树立时间观,培养勤奋、刻苦的精神. 第二章 统计 本章教材分析 现代社会是信息化的社会,数字信息随处可见,因此专门研究如何收集、整理、分析数据的科学—— 统计学就备受重视. 统计学是研究如何收集、 整理、 分析数据的科学, 它可以为人们制定决策提供依据. 在 客观世界中,需要认识的现象无穷无尽.要认识某现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料,然后 通过分析这些资料来认识此现象.如何取得有代表性的观测资料并能够正确地加以分析,是正确地认识未 知现象的基础,也是统计所研究的基本问题.本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法,以及几种从样 本数据中提取信息的统计方法,其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容. 从义务教育阶段来看, 统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段, 在每个阶段都要学习收集、 整理、 描述和分析数据等处理数据的基本方法,教学目标随着学段的升高逐渐提高.在义务教育阶段的统计与概 率知识的基础上, 《课程标准》要求通过实际问题及情境,进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回 归的基本方法, 了解用样本估计总体及其特征的思想, 体会统计思维与确定性思维的差异; 通过实习作业, 较为系统地经历数据收集与处理的全过程,进一步体会统计思维与确定性思维的差异. 本章教学时间约需 7 课时,具体分配如下(仅供参考) : 2.1.1 2.1.2 简单随机抽样 系统抽样 第 75 页 共 140 页 约 1 课时 约 1 课时 2.1.3 2.2.1 2.2.2 2.3 分层抽样 用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征估计总体的数字特征 变量间的相关关系 本章复习 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 2.1 随机抽样 2.1.1 简单随机抽样 整体设计 教学分析 教材是以探究一批小包装饼干的卫生是否达标为问题导向,逐步引入简单随机抽样概念.并通过实例 介绍了两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法. 值得注意的是为了使学生获得简单随机抽样的经验,教学中要注意增加学生实践的机会.例如,用抽 签法决定班里参加某项活动的代表人选,用随机数法从全年级同学中抽取样本计算平均身高等等. 三维目标 1.能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题,提高学生分析问题的能力. 2.理解随机抽样的必要性和重要性,提高学生学习数学的兴趣. 3.学会用抽签法和随机数法抽取样本,培养学生的应用能力. 重点难点 教学重点:理解随机抽样的必要性和重要性,用抽签法和随机数法抽取样本. 教学难点:抽签法和随机数法的实施步骤. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 抽样的方法很多,某个抽样方法都有各自的优越性与局限性,针对不同的问题应当选择适当的抽样方 法.教师点出课题:简单随机抽样. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)在 1936 年美国总统选举前,一份颇有名气的杂志(Literary Digest)的工作人员做了一次民意测验.调 查兰顿(A.Landon)(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(F.D.Roosevelt)(当时的总统)中谁将当选下一届总统.为了 了解公众意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在 1936 年电话和汽车 只有少数富人拥有).通过分析收回的调查表,显示兰顿非常受欢迎,于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜. 实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下: 候选人 Roosevelt Landon 预测结果% 43 57 选举结果% 62 38 你认为预测结果出错的原因是什么?由此可以总结出什么教训? (2)假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验,你准备 怎样做?显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本.那么,应当怎样获取样本呢? (3)请总结简单随机抽样的定义. 讨论结果:

(1)预测结果出错的原因是:在民意测验的过程中,即抽取样本时,抽取的样本不具有代表性.1936 年拥 有电话和汽车的美国人只是一小部分,那时大部分人还很穷.其调查的结果只是富人的意见,不能代表穷 人的意见. 第 76 页 共 140 页 由此可以看出,抽取样本时,要使抽取出的样本具有代表性,否则调查的结果与实际相差较大. (2)要对这批小包装饼干进行卫生达标检查,只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本,用样本的卫生 情况来估计这批饼干的卫生情况.如果对这批饼干全部检验,那么费时费力,等检查完了,这批饼干可能 就超过保质期了,再就是会破坏这批饼干的质量,导致无法出售. 获取样本的方法是:

将这批小包装饼干, 放入一个不透明的袋子中, 搅拌均匀, 然后不放回地摸取 (这 样可以保证每一袋饼干被抽到的可能性相等) ,这样就可以得到一个样本.通过检验样本来估计这批饼干 的卫生情况.这种抽样方法称为简单随机抽样. (3)一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时 总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.最常用的简单随机抽样方 法有两种:抽签法和随机数法. 提出问题 (1)抽签法是大家最熟悉的,也许同学们在做某种游戏,或者选派一部分人参加某项活动时就用过抽签 法.例如,高一(2)班有 45 名学生,现要从中抽出 8 名学生去参加一个座谈会,每名学生的机会均等.我们可以把 45 名学生的学号写在小纸片上,揉成小球,放到一个不透明袋子中,充分搅拌后,再从中逐个抽出 8 个号签,从 而抽出 8 名参加座谈会的学生. 请归纳抽签法的定义.总结抽签法的步骤. (2)你认为抽签法有什么优点和缺点?当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? (3)随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样. 我们仅学习随机数表法即利用随 机数表产生的随机数进行简单随机抽样的方法. 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明. 假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验. 利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行. 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,…,799. 第二步,在随机数表中任选一个数.例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明,下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行.) 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28 第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等),得到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它去掉.按照这种方法继续 向右读,又取出 567,199,507,…,依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出.这样我们就得到一个容量为 60 的 样本. 请归纳随机数表法的步骤. (4)当 N=100 时,分别以 0,3,6 为起点对总体编号,再利用随机数表抽取 10 个号码.你能说出从 0 开始 对总体编号的好处吗? (5)请归纳随机数表法的优点和缺点. 讨论结果:

(1)一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后, 每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本. 抽签法的步骤是:

1°将总体中个体从 1—N 编号; 2°将所有编号 1—N 写在形状、大小相同的号签上; 3°将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀; 4°从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取 n 次; 第 77 页 共 140 页 5°从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出. (2)抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,如果标号的签搅拌得不均匀, 会导致抽样不公平.因此说当总体中的个体数很多时,用抽签法不方便.这时用随机数法. (3)随机数表法的步骤:

1°将总体中个体编号; 2°在随机数表中任选一个数作为开始; 3°规定从选定的数读取数字的方向; 4°开始读取数字,若不在编号中,则跳过,若在编号中则取出,依次取下去,直到取满为止; 5°根据选定的号码抽取样本. (4)从 0 开始编号时,号码是 00,01,02,…,99;从 3 开始编号时,号码是 003,004,…,102;从 6 开 始编号时,号码是 006,007,…,105.所以以 3,6 为起点对总体编号时,所编的号码是三位,而从 0 开 始编号时,所编的号码是两位,在随机数表中读数时,读取两位比读取三位要省时,所以从 0 开始对总体 编号较好. (5)综上所述可知,简单随机抽样有操作简便易行的优点,在总体个数不多的情况下是行之有效的.但是, 如果总体中的个体数很多时,对个体编号的工作量太大,即使用随机数表法操作也并不方便快捷.另外,要 想“搅拌均匀”也非常困难,这就容易导致样本的代表性差. 应用示例 例 1 某车间工人加工一种轴共 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一条件下测量, 如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? 分析:简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法,所以有两种思路. 解法一(抽签法) :

①将 100 件轴编号为 1,2,…,100; ②做好大小、形状相同的号签,分别写上这 100 个号码; ③将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀; ④逐个抽取 10 个号签; ⑤然后测量这 10 个号签对应的轴的直径的样本. 解法二(随机数表法) :

①将 100 件轴编号为 00,01,…99; ②在随机数表中选定一个起始位置,如取第 22 行第 1 个数开始(见教材附录 1:随机数表); ③规定读数的方向,如向右读;

④依次选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74,77,40,44, 则这 10 个号签相应的个体即为所要抽取的样本. 点评:本题主要考查简单随机抽样的步骤.抽签法的关键是为了保证每个个体被抽到的可能性相等而必须 搅拌均匀,当总体中的个体无差异,并且总体容量较小时,用抽签法;用随机数表法读数时,所编的号码 是几位,读数时相应地取连续的几个数字,当总体中的个体无差异,并且总体容量较多时,用抽签法. 变式训练 1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有____________. (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本. (2)从 1 000 个个体中一次性抽取 50 个个体作为样本. (3)将 1 000 个个体编号,把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取 50 个个体 作为样本. (4)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出一个零件 进行质量检验后,再把它放回箱子. (5)福利彩票用摇奖机摇奖. 解析:

(1)中,很明显简单随机抽样是从有限多个个体中抽取,所以(1)不属于; (2)中,简单随机抽 第 78 页 共 140 页 样是逐个抽取,不能是一次性抽取,所以(2)不属于;很明显(3)属于简单随机抽样; (4)中,抽样是 放回抽样,但是简单随机抽样是不放回抽样,所以(4)不属于;很明显(5)属于简单随机抽样. 答案:

(5) (3) 2.要从某厂生产的 30 台机器中随机抽取 3 台进行测试,写出用抽签法抽样样本的过程. 分析:由于总体容量和样本容量都较小,所以用抽签法. 解:抽签法,步骤:

第一步,将 30 台机器编号,号码是 01,02,…,30. 第二步,将号码分别写在一张纸条上,揉成团,制成号签. 第三步,将得到的号签放入不透明的袋子中,并充分搅匀. 第四步,从袋子中依次抽取 3 个号签,并记录上面的编号. 第五步,所得号码对应的 3 台机器就是要抽取的样本. 例 2 人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,对任何一家来说,都 是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样? 解:简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始张,其他各张牌虽 然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽样. 点评:判断简单随机抽样时,要紧扣简单随机抽样的特征:逐个、不放回抽取且保证每个个体被抽到的可 能性相等. 变式训练 现在有一种“够级”游戏,其用具为四副扑克,包括大小鬼(又称为花)在内共 216 张牌,参与人数为 6 人并坐成一圈.“够级”开始时,从这 6 人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫 开牌) 然后按逆时针方向, , 根据这张牌上的数字来确定谁先抓牌, 6 人依次从 216 张牌中抓取 36 张牌, 这 问这种抓牌方法是否是简单随机抽样? 解:在这里只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的,其他 215 张牌已经确定,即这 215 张扑克牌被抽取的 可能性与第一张扑克牌可能性不相同,所以不是简单随机抽样. 知能训练 1.为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是( ) A.总体是 240 B.个体 C.样本是 40 名学生 D.样本容量是 40 答案:D 2.为了了解所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的长度是 ( ) A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量 答案:C 3.一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本,则某一特定个体 被抽到的可能性是____________. 答案: 1 10 4.为了检验某种产品的质量,决定从 40 件产品中抽取 10 件进行检查,如何用简单随机抽样抽取样本? 解:方法一(抽签法) :

①将这 40 件产品编号为 1,2,…,40; ②做好大小、形状相同的号签,分别写上这 40 个号码; ③将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀; ④连续抽取 10 个号签; ⑤然后对这 10 个号签对应的产品检验. 方法二(随机数表法) :

①将 40 件产品编号,可以编为 00,01,02,…,38,39; ②在随机数表中任选一个数作为开始,例如从第 8 行第 9 列的数 5 开始, ; 第 79 页 共 140 页 ③从选定的数 5 开始向右读下去,得到一个两位数字号码 59,由于 59>39,将它去掉;继续向右读,得 到 16,将它取出;继续下去,又得到 19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是 12,由于它在前面 已经取出,将它去掉,再继续下去,得到 34.至此,10 个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号 码是 16,19,10,12,07,39,38,33,21,34. 拓展提升 现有一批编号为 10,11,…,99,100,…,600 的元件,打算从中抽取一个容量为 6 的样本进行质 量检验.如何用随机数法设计抽样方案? 分析:重新编号,使每个号码的位数相同. 解:方法一:

第一步,将元件的编号调整为 010,011,012,…,099,100,…,600. 第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第 6 行第 7 个数“9”,向右 读. 第三步,从数“9”开始,向右读,每次读取三位,凡不在 010—600 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳 过去不读,依次可得到 544,354,378,520,384,263. 第四步,以上这 6 个号码所对应的 6 个元件就是所要抽取的对象. 方法二: 第一步,将每个元件的编号加 100,重新编号为 110,111,112,…,199,200,…,700. 第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第 8 行第 1 个数“6”,向右读. 第三步,从数“6”开始,向右读,每次读取三位,凡不在 110—700 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳 过去不读,依次可得到 630,163,567,199,507,175. 第四步,这 6 个号码分别对应原来的 530,63,467,99,407,75.这些号码对应的 6 个元件就是要抽取的 对象. 课堂小结 1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个体的方法:放回和不放 回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法. 2.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的签搅 拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点是当总体容量较大时,仍然不是 很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较小的抽样类型. 3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 n ,但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第 N n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三种情况区分开来,避免在解题中出 现错误. 作业 课本本节练习 2、3. 设计感想 本节教学设计以课程标准的要求为指导, 重视引导学生参与到教学中, 体现了学生的主体地位. 同时, 根据高考的要求,适当拓展了教材,做到了用教材,而不是教教材. 第 80 页 共 140 页 2.1.2 系统抽样 整体设计 教学分析 教材通过探究“学生对教师教学的意见”过程,介绍了一种最简单的系统抽样——等距抽样,并给出实 施等距抽样的步骤. 值得注意的是在教学过程中,适当介绍当 N 不是整数时,应如何实施系统抽样. n 三维目标 1.理解系统抽样,会用系统抽样从总体中抽取样本,了解系统抽样在实际生活中的应用,提高学生学习 数学的兴趣. 2.通过自学课后“阅读与思考”,让学生进一步了解虚假广告是淡化总体和抽样方法、强化统计结果来夸大 产品的有效性,以提高学生理论联系实际的能力. 重点难点 教学重点:实施系统抽样的步骤. 教学难点:当 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 上一节我们学习了简单随机抽样,那么简单随机抽样的特点是什么?简单随机抽样是最简单和最基本 的抽样方法,当总体中的个体较少时,常采用简单随机抽样.但是如果总体中的个体较多时,怎样抽取样 本呢?教师点出课题:系统抽样. 思路 2 某中学有 5 000 名学生,打算抽取 200 名学生,调查他们对奥运会的看法,采用简单随机抽样时,无 论是抽签法还是随机数法,实施过程很复杂,需要大量的人力和物力,那么有没有更为方便可行的抽样方 法呢?这就是今天我们学习的内容:系统抽样. 推进新课 新知探究 提出问题 (1) 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见, 打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调查, 除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的?方法?? (2)请归纳系统抽样的定义和步骤. (3)系统抽样有什么特点? 讨论结果:

(1)可以将这 500 名学生随机编号 1—500,分成 50 组,每组 10 人,第 1 组是 1—10,第二组 11—20,依次 分下去,然后用简单随机抽样在第 1 组抽取 1 人,比如号码是 2,然后每隔 10 个号抽取一个,得到 2,12, 22,…,492. 这样就得到一个容量为 50 的样本. 这种抽样方法称为系统抽样. (2)一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制 定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样. 其步骤是:

1°采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个体编号; 第 81 页 共 140 页 N 不是整数,如何实施系统抽样. n 2°将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,l≤k);

3°在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,l≤k);

4°按照一定的规则抽取样本.通常是将起始编号 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k), 再加上 k 得到第 3 个个体编号(l+2k),这样继续下去,直到获取整个样本. 说明:从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把复杂问题简 单化,体现了数学转化思想. (3)系统抽样的特点是:

1°当总体容量 N 较大时,采用系统抽样; 2°将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样, 这时间隔一般为 k=[ N ] . n 3°预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分 段间隔的整倍数即为抽样编号. 应用示例 例 1 为了了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩,应采用什么抽样方法较恰当?简述抽样过程. 解:适宜选用系统抽样,抽样过程如下:

(1)随机地将这 1 000 名学生编号为 1,2 ,3,…,1000. (2)将总体按编号顺序均分成 50 部分,每部分包括 20 个个体. (3)在第一部分的个体编号 1,2,3,…,20 中,利用简单随机抽样抽取一个号码,比如 18. (4)以 18 为起始号码,每间隔 20 抽取一个号码,这样得到一个容量为 50 的样本:18,38,58,…,978, 998. 点评:系统抽样与简单随机抽样一样,每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽样是等概率抽样,它 是公平的.系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的,当将总体均分后对每一部分进行抽样时,采用 的是简单随机抽样. 变式训练 1.下列抽样不是系统抽样的是( ) A.从标有 1—15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序,随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为止 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 分析:C 中,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样,所以不是系统抽样. 答案:C 2.某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要按 1∶5 的比例 抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. 分析:按 1∶5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:抽样过程是:

(1)按照 1∶5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷ 5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第 一组是编号为 1—5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6—10 的 5 名学生,依次下去,59 组是编号为 291—295 的 5 名学生; (2)采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 l(l≤5); (3)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为 l+5k(k=0,1,2,…,58),得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,…,288,293. 例 2 为了了解参加某种知识竞赛的 1 003 名学生的成绩,请用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本. 分析:由于 1003 不是整数,所以先从总体中随机剔除 3 个个体. 50 第 82 页 共 140 页 步骤:

(1)随机地将这 1003 个个体编号为 1,2,3,…,1003. (2)利用简单随机抽样,先从总体中剔除 3 个个体(可利用随机数表) ,剩下的个体数?1 000?能被样本 容量 50 整除,然后再重新编号为 1,2,3,…,1000. (3)确定分段间隔. 1000 =20,则将这 1 000 名学生分成 50 组,每组 20 人,第 1 组是 1,2,3,…,20; 50 第 2 组是 21,22,23,…,40;依次下去,第 50 组是 981,982,…,1000. (4)在第 1 组用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤20). (5)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为 l+20k (k=0,1,2,…,19),得到 50 个个体作为样本,如 当 k=2 时的样本编号为 2,22,42,…,982. 点评:如果遇到 N 不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能 n 被样本容量整除. 变式训练 1.某校高中三年级有 1 242 名学生,为了了解他们的身体状况,准备按 1∶40 的比例抽取一个样本,那么 ( ) A.剔除指定的 4 名学生 B.剔除指定的 2 名学生 C.随机剔除 4 名学生 D.随机剔除 2 名学生 分析:为了保证每名学生被抽到的可能性相等,必须是随机剔除学生,由于 1242 的余数是 2,所以要剔 40 除 2 名学生. 答案:D 2.从 2 005 个编号中抽取 20 个号码,采用系统抽样的方法,则抽样的分段间隔为( ) A.99 B.99.5 C.100 D.100.5 答案:C 例 3 从已编号为 1—50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验, 若采用每部 分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( ) A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32 分析:用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用 简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求. 答案:B 点评:利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来,从第 2 个号码开始,每一个号码与 前一个号码的差都等于同一个常数,这个常数就是分段间隔. 变式训练 某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解有关情 况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是_________抽样方法. 答案:系统 知能训练 1.从学号为 0—50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学竞赛,采用系统抽样的方法,则所 选 5 名学生的学号不可能是( ) A.1,2,3,4,5 B.5,15,25,35,45 C.2, 12, 22, 32, 42 D.9,19,29,39,49 答案:A 2.采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本,那么每个个体入样的可能性为 ( ) 第 83 页 共 140 页 A. 1 83 B. 1 80 C. 1 10 D.不相等 答案:A 3.某单位的在岗工人为 624 人,为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间,决定抽取 10% 的工人调查这一情况,如何采用系统抽样的方法完成这一抽样? 答案:先随机剔除 4 人,再按系统抽样抽取样本. 4.某学校有学生 3 000 人,现在要抽取 100 人组成夏令营,怎样抽取样本? 分析:由于总体人数较多,且无差异,所以按系统抽样的步骤来进行抽样. 解:按系统抽样抽取样本,其步骤是:

①将 3 000 名学生随机编号 1,2,…,3000; ②确定分段间隔 k= 3000 =30,将整体按编号进行分 100 组,第 1 组 1—30,第 2 组 31—60,依次分下去, 100 第 100 组 2971—3000; ③在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,0≤l≤30) ; ④按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 l 加上间隔 30 得到第 2 个个体编号 l+30,再加上 30,得 到第 3 个个体编号 l+60, 这样继续下去, 直到获取整个样本. 比如 l=15, 则抽取的编号为:

45, …, 15, 75, 2985. 这些号码对应的学生组成样本. 拓展提升 将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 000,001,002,…,999,打算从中抽取一个容量为 50 的 样本,按系统抽样方法分成 50 个部分,第一组编号为 000,002,…,019,如果在第一组随机抽取的一个 号码为 015,则抽取的第 40 个号码为_____________. 分析:利用系统抽样抽取样本,在第一组抽取号码为 l=015,分段间隔为 k= 1000 =20,则在第 i 组中抽 50 取的号码为 015+20(i-1).则抽取的第 40 个号码为 015+(40-1)× 20=795. 答案:795 课堂小结 通过本节的学习,应明确什么是系统抽样,系统抽样的适用范围,如何用系统抽样获取样本. 作业 习题 2.1A 组 3. 第 84 页 共 140 页 2.1.3 分层抽样 整体设计 教学分析 教材从“了解某地区中小学生的近视情况及其形成原因”的探究中引入的概念.在探究过程中,应该引 导学生体会:调查者是利用事先掌握的各种信息对总体进行分层,这可以保证每一层一定有个体被抽到, 从而使得样本具有更好的代表性.为了达到此目的,教材利用右栏问题“你认为哪些因素可能影响到学生 的视力?设计抽样方法时,需要考虑这些因素吗?”来引导学生思考,在教学中要充分注意这一点. 教材在探究初中和小学的抽样个数时, 在右栏提出问题“想一想, 为什么要这样取各个学段的个体数?” 用意是向学生强调:含有个体多的层,在样本中的代表也应该多,即样本在该层的个体数也应该多.这样 的样本才具有更好的代表性. 三维目标 1.理解分层抽样的概念,掌握其实施步骤,培养学生发现问题和解决问题的能力; 2.掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系,提高学生的总结和归纳能力,让学生领会到 客观世界的普遍联系性. 重点难点 教学重点:分层抽样的概念及其步骤. 教学难点:确定各层的入样个体数目,以及根据实际情况选择正确的抽样方法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 中国共产党第十七次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数进行分配的, 并适当考虑前几次代表大会代表名额数等因素.按照这一分配办法,各选举单位的代表名额,比十六大时 都有增加.另外,按惯例,中央将确定一部分已经退出领导岗位的老党员作为特邀代表出席大会.这种产 生代表的方法是简单随机抽样还是系统抽样?教师点出课题:分层抽样. 思路 2 我们已经学习了两种抽样方法:简单随机抽样和系统抽样,本节课我们学习分层抽样. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)假设某地区有高中生 2 400 人,初中生 10 900 人,小学生 11 000 人,此地教育部门为了了解本地区中小 学的近视情况及其形成原因, 要从本地区的小学生中抽取 1%的学生进行调查, 你认为应当怎样抽取样本? (2)想一想为什么这样取各个学段的个体数? (3)请归纳分层抽样的定义. (4)请归纳分层抽样的步骤. (5)分层抽样时如何分层?其适用于什么样的总体? 讨论结果:(1)分别利用系统抽样在高中生中抽取 2 400× 1%=24 人,在初中生中抽取 10 900× 1%=109 人, 在小学生中抽取 11 000× 1%=110 人.这种抽样方法称为分层抽样. (2)含有个体多的层,在样本中的代表也应该多,即样本从该层中抽取的个体数也应该多.这样的样本才有 更好的代表性. (3)一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个 体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样. (4)分层抽样的步骤:

①分层:按某种特征将总体分成若干部分(层) ; 第 85 页 共 140 页 ②按抽样比确定每层抽取个体的个数; ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本; ④综合每层抽样,组成样本. (5)分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求:

①分层时将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏 的原则,即保证样本结构与总体结构一致性. ②分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数 量的比与这层个体数量与总体容量的比相等. ③当总体个体差异明显时,采用分层抽样. 应用示例 例 1 一个单位有职工 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35 岁至 49 岁的有 280 人,50 岁以上的有 95 人,为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取 100 名职工作为样本,职工年龄与这 项指标有关,应该怎样抽取? 分析:由于职工年龄与这项指标有关,所以应选取分层抽样来抽取样本. 解:用分层抽样来抽取样本,步骤是: (1)分层:按年龄将 150 名职工分成三层:不到 35 岁的职工;35 岁至 49 岁的职工;50 岁以上的职工. 100 1 1 ? ,则在不到 35 岁的职工中抽 125× =25 人;在 35 岁至 500 5 5 1 1 49 岁的职工中抽 280× =56 人;在 50 岁以上的职工中抽 95× =19 人. 5 5 (2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为 (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本. 点评:

本题主要考查分层抽样及其实施步骤. 如果总体中的个体有差异时, 那么就用分层抽样抽取样本. 用 分层抽样抽取样本时,要把性质、结构相同的个体组成一层. 变式训练 1.某市的 3 个区共有高中学生 20 000 人,且 3 个区的高中学生人数之比为 2∶3∶5,现要从所有学生中抽 取一个容量为 200 的样本,调查该市高中学生的视力情况,试写出抽样过程. 分析:由于该市高中学生的视力有差异,按 3 个区分成三层,用分层抽样来抽取样本.在 3 个区分别抽取 的学生人数之比也是 2∶3∶5,所以抽取的学生人数分别是 200× 200× 2 3 =40;200× =60; 2?3?5 2?3?5 5 =100. 2?3?5 解:用分层抽样来抽取样本,步骤是:

(1)分层:按区将 20 000 名高中生分成三层. (2)确定每层抽取个体的个数.在这 3 个区抽取的学生数目分别是 40、60、100. (3)在各层分别按随机数表法抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本. 2.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况,从他们中抽取容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除 1 人,再用分层抽样 分析:总人数为 28+54+81=163.样本容量为 36,由于总体由差异明显的三部分组成,考虑用分层抽样.若 按 36∶163 取样,无法得到整解,故考虑先剔除 1 人,抽取比例变为 36∶162=2∶9,则中年人取 12 人, 青年人取 18 人,先从老年人中剔除 1 人,老年人取 6 人,组成 36 的样本. 答案:D 例 2 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 第 86 页 共 140 页 种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽 取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 分析:抽样比为 20 1 1 = ,则抽取的植物油类种数是 10× =2,则抽取的果蔬类食品种数是 40 ? 10 ? 30 ? 20 5 5 20× =4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 2+4=6. 答案:C 点评:如果 A、B、C 三层含有的个体数目分别是 x、y、z,在 A、B、C 三层应抽取的个体数目分别是 m、 n、p,那么有 x∶y∶z=m∶n∶p;如果总体有 N 个个体,所抽取的样本容量为 n,某层所含个体数目为 a,在该 层抽取的样本数目为 b,那么有 1 5 n b ? . N a 变式训练 1.(2007 浙江高考,文 13)某校有学生 2 000 人,其中高三学生 500 人.为了解学生的身体素质情况,采 用 按 年 级 分 层 抽 样 的 方 法 , 从 该 校 学 生 中 抽 取 一 个 200 人 的 样 本 . 则 样 本 中 高 三 学 生 的 人 数 为 ______________. 分析:抽样比为 200 1 1 ? ,样本中高三学生的人数为 500× =50. 2000 10 10 答案:50 2.甲校有 3 600 名学生,乙校有 5 400 名学生,丙校有 1 800 名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划 采用分层抽样法,抽取一个容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学生( ) A.30 人,30 人,30 人 B.30 人,45 人,15 人 C.20 人,30 人,10 人 D.30 人,50 人,10 人 分析:抽样比是 400=45 人, 90 1 1 1 ? ,则应在这三校分别抽取学生:

× 600=30 人, 3 × 5 3600 ? 5400 ? 1800 120 120 120 1 × 800=15 人. 1 120 答案:B 知能训练 1.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 000 家,其中农民家庭 1 800 户,工人家庭 100 户.现要从 中抽取容量为 40 的样本,调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到下列抽样方法( ) ①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样 A.②③ B.①③ C.③ D.①②③ 分析:由于各家庭有明显差异,所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中 抽出若干户,即 36 户、2 户、2 户.又由于农民家庭户数较多,那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样; 而工人、知识分子家庭户数较少,宜采用简单随机抽样法.故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法. 答案:D 2.某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家 ,中型商店有 75 家,小型商店有 195 家.为了掌握各商 店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是 ______________. 答案:5 3.某校 500 名学生中,O 型血有 200 人,A 型血有 125 人,B 型血有 125 人,AB 型血有 50 人,为了研 究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为 20 的样本.怎样抽取样本? 分析:由于研究血型与色弱的关系,按血型分层,用分层抽样抽取样本.利用抽样比确定抽取各种血型的 人数. 解:用分层抽样抽取样本. 第 87 页 共 140 页 20 2 2 ? ,即抽样比为 . 500 50 50 2 2 2 ∴200× =8,125× =5,50× =2. 50 50 50 ∵ 故 O 型血抽 8 人,A 型血抽 5 人,B 型血抽 5 人,AB 型血抽 2 人. 抽样步骤:

①确定抽样比 2 ; 50 ②按比例分配各层所要抽取的个体数,O 型血抽 8 人,A 型血抽 5 人,B 型血抽 5 人,AB 型血抽 2 人;

③用简单随机抽样分别在各种血型中抽取样本,直至取出容量为 20 的样本. 拓展提升 某高级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参 加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时, 将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2,…, 270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况:

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样 分析:如果按分层抽样时,在一年级抽取 108× 10 10 =4 人,在二、三年级各抽取 81× =3 人,则在号码 270 270 段 1,2,…,108 抽取 4 个号码,在号码段 109,110,…,189 抽取 3 个号码,在号码段 190,191,…, 270 抽取 3 个号码,①②③符合,所以①②③可能是分层抽样,④不符合,所以④不可能是分层抽样;如 果按系统抽样时,抽取出的号码应该是“等距”的,①③符合,②④不符合,所以①③都可能为系统抽样, ②④都不能为系统抽样. 答案:D 点评:根据样本的号码判断抽样方法时,要紧扣三类抽样方法的特征.利用简单随机抽样抽取出的样本号 码没有规律性; 利用分层抽样抽取出的样本号码有规律性,即在每一层抽取的号码个数 m 等于该层所含个 体数目与抽样比的积,并且应该恰有 m 个号码在该层的号码段内; 利用系统抽样取出的样本号码也有规律 性,其号码按从小到大的顺序排列,则所抽取的号码是:l,l+k,l+2k,…,l+(n-1)k.其中,n 为样本容量,l 是第一组中的号码,k 为分段间隔=总体容量/样本容量. 课堂小结 本节课学习了分层抽样的定义及其实施步骤. 作业 习题 2.1A 组 5. 设计感想 本节课重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学.首先为教材内容选择生活背景, 让学 生体验数学问题来源于生活实际;其次,大胆调用学生熟知的生活经验,使数学学习变得易于理解掌握;第 三,善于联系生活实际有机改编教材习题,让学生在实践活动中理解掌握知识,变“学了做”为“做中学”. 第 88 页 共 140 页 2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 整体设计 教学分析 教科书通过探究栏目引导学生思考居民生活用水定额管理问题,引出总体分布的估计问题,该案例贯穿 于本节始终.通过对该问题的探究,使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图.教科书 在这里主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法,而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下 了较大的发挥空间.教师可以通过初中有关随机事件的知识,也可以利用计算机多媒体技术,引导学生进一步 体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性; 通过初中有关频率与概率之间的关系,了解频率 分布直方图的规律性,即频率分布与总体分布之间的关系,进一步体会用样本估计总体的思想. 由于样本频率分布直方图可以估计总体分布,因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特 征,这就提供了估计总体特征的另一种途径,其意义在于:在没有原始数据而仅有频率分布的情况下,此方法 可以估计总体的分布特征. 三维目标 1.通过实例体会分布的意义和作用,通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法. 2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图,理解数形结合的 数学思想和逻辑推理的数学方法. 3.通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,通过实例体会频率分布直方图、 频率折线 图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地作出总体估计,认识到数学知识源 于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系. 重点难点 教学重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 教学难点:能通过样本的频率分布估计总佒的分布. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 在 NBA 的 2006 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分:12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员哪一位发挥比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率 分布估计总体分布(板书课题). 思路 2 如下样本是随机抽取近年来北京地区 7 月 25 日至 8 月 24 日的日最高气温. 7 月 25 日至 8 月 10 日 8月8日 至8月 24 日 41.9 32.5 28.6 32.8 37.5 34.6 31.5 29.8 35.7 33.0 28.8 25.6 35.4 30.8 33.2 24.7 37.2 31.0 32.5 30.0 38.1 28.6 30.3 30.1 34.7 31.5 30.2 29.5 33.7 28.8 29.8 30.3 33.1 33.3 怎样通过上表中的数据,分析比较两时间段内的高温(≥33 ℃)状况?这就是我们这堂课要研究、学习 的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布. 思路 3 讨论:我们要了解我校学生每月零花钱的情况,应该怎样进行抽样? 第 89 页 共 140 页 提问:学习了哪些抽样方法?一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢? 讨论:通过抽样方法收集数据的目的是什么?(从中寻找所包含的信息,用样本去估计总体) 指出两种估计手段:一是用样本的频率分布估计总体的分布,二是用样本的数字特征(平均数、标准差等) 估计总体的数字特征.这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布. 推进新课 新知探究 提出问题 (1) 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试 行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准 a,用水量不超过 a 的部分按平价收费,超出 a 的部分 按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢?你认为,为了较合 理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生展开讨论) (2)什么是频率分布? (3)画频率分布直方图有哪些步骤? (4)频率分布直方图的特征是什么? 讨论结果:

(1)为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用水量在哪个 范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市 居民用水量的分布情况. 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作图可以达到 两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供 解释数据的新方式. 下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来 表示数据分布的规律.可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况. (2)频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小;一般用频率分布直方图反映样本的频 率分布. (3)其一般步骤为:

①计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差; ②决定组距与组数; ③将数据分组; ④列频率分布表; ⑤画频率分布直方图. (4)频率分布直方图的特征:

①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势. ②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了. 同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同 的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以 0.1 和 1 为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象. 提出问题 (1)什么是频率分布折线图? (2)什么是总体密度曲线? (3)对于任何一个总体,它的密度曲线是否一定存在?是否可以被非常准确地画出来? (4)什么叫茎叶图?画茎叶图的步骤有哪些? (5)茎叶图有什么特征? 讨论结果:

(1)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. (2)在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为 总体密度曲线.它能够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息. 第 90 页 共 140 页 (3) 实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样准确地画出来,我们只能用样 本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越?精确?. (4)当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第 二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶 图. 画茎叶图的步骤如下:

①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字;

②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧;

③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧. (5)①用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从 茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示. ②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记 录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰. 茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成, 没有损失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录(这对于教练员发现运动员现场状态特别有用);而频 率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须在完成抽样后才能制作. 正确利用三种分布的描述方法, 都能得到一些有关分布的主要特点(如分布是否具有单峰性、 是否具有对称 性、样本点落在各分组中的频率等),这些主要特点受样本的随机性的影响比较小,更接近于总体分布的相应 的特点. 频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的,它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式, 茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于频率分布表中的分组;茎上叶的数目相当于频率分布表中指 定区间组的频数. 应用示例 思路 1 例 1 有 100 名学生,每人只能参加一个运动队,其中参加足球队的有 30 人,参加篮球队的有 27 人,参加排球 队的有 23 人,参加乒乓球队的有 20 人. (1)列出学生参加运动队的频率分布表. (2)画出频率分布条形图. 解:(1)参加足球队记为 1,参加篮球队记为 2,参加排球队记为 3,参加乒乓球队记为 4,得频率分布表如下:

试验结果 参加足球队(记为 1) 参加篮球队(记为 2) 参加排球队(记为 3) 参加乒乓球队(记为 4) 合 计 (2)由上表可知频率分布条形图如下:

频数 30 27 23 20 100 频率 0.30 0.27 0.23 0.20 1.00 例 2 为了了解中学生的身体发育情况,对某中学 17 岁的 60 名女生的身高进行了测量,结果如下:

(单位:

cm) 第 91 页 共 140 页 154 156 158 162 160 162 159 166 169 159 156 166 162 158 166 160 164 160 157 151 157 161 153 158 164 158 163 158 153 157 159 154 165 166 157 151 146 151 165 158 163 163 162 161 154 165 159 157 159 149 164 168 159 153 列出样本的频率分布表;绘出频率分布直方图. 解:第一步,求极差:上述 60 个数据中最大为 169,最小为 146. 故极差为:169-146=23 cm. 第二步,确定组距和组数,可取组距为 3 cm,则组数为 23 2 ? 7 ,可将全部数据分为 8 组. 3 3 第三步,确定组限:

[145.5,148.5),[148.5,151.5),[151.5,154.5),[154.5,157.5),[157.5,160.5),[160.5,163.5), [163.5,166.5),[166.5,169.5). 第四步,列频率分布表:

分组 [145.5,148.5) [148.5,151.5) [151.5,154.5) [154.5,157.5) [157.5,160.5) [160.5,163.5) [163.5,166.5) [166.5,169.5) 合计 第五步,根据上述数据绘制频率分布直方图如下图:

个数累计 频数 1 3 6 8 18 11 10 3 60 频率 0.017 0.050 0.100 0.133 0.300 0.183 0.167 0.050 1.000 以上例 1 和例 2 两种情况的不同之处在于,前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率,相应的条 形图是用其高度表示取各个值的频率; 后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率,相应的直方图 是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率. 我们在处理一个数理问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的方法,这是因为,频率分布随着样 本容量的增大更加接近于总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,频率分布的直方图就演 变成一条光滑的曲线——总体密度曲线.这条曲线是客观

第一篇:高中数学必修三教案

数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 必修三教学设计 第 一 课题 单元 第 1 课 年 月 日 1.1.1 算法的概念 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 (ABC 层)了解算法的含义,体会算法的思想;能够用自然语言 叙述算法。

(AB 层)掌握正确的算法应满足的要求,会写出解线 性方程(组)的算法。

通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而 得到一个解二元一次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的 问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同,同一个问题也可 能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求 有限整数序列中的最大值的算法。

通过本节的学习, 使我们对计算机的算法语言有一个基本的 了解,明确算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有 力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。

算法的含义、 解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设 计。 教 学 内 容 分 析 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 把自然语言转化为算法语言。 教 学 流 程 与 教 学 内 容 创设情境:

一、创设情境:

算法是什么?我们以前接触过吗? 算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有 接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。如,做四 则运算要先乘除后加减,从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠 算口诀更是算法的具体体现。

我们知道解一元二次方程的算法, 求解一元一次不等式、 一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。因 此,算法其实是重要的数学对象。

新课:

二、新课:

1、探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求 未知的运算过程。后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算 法。

广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的 使用说明书是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算 机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比 如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。

例题分析:

2、 例题分析: 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! x-2y=-1,① 例1 写出解二元一次方程组 2x+y=1②的算法。 (学生做一做)解:第一步,②-①×2 得 5y=3;③ 第二步,解③得 y=3/5; 第三步,将 y=3/5 代入①,得 x=1/5 学生思考:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善? 老师评一评:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一 ? A x + B1 y + C1 = 0 次方程组的解法。下面写出求方程组 ? 1 ( A1B2 ? B1 A2 ≠ 0) 的解的算法:

? A2 x + B2 y + C2 = 0 第一步:②×A1-①×A2,得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0;③ 第二步:解③,得 y = A2C1 ? A2C2 ; A1B2 ? A2 B1 第三步:将 y = ? B2C1 + B1C2 A2C1 ? A2C2 代入①,得 x = 。

A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1 此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒 2 的另一个算 法:

第一步:取 A1=1,B1=-2,C1=1,A2=2,B2=1,C2=-1; 第二步:计算 x = ? B2C1 + B1C2 A C ? A2C2 与y= 2 1 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1 第三步:输出运算结果。

可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。

例 2 用二分法设计一个求方程 x2–2=0 的近似根的算法。

教师分析:回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与准确解的差的绝对值 不超过 0.005。

学生做一做:

第一步:令 f(x)=x2–2。因为 f(1)<0,f(2)>0,所以设 x1=1,x2=2。

第二步:令 m=(x1+x2)/2,判断 f(m)是否为 0,若是,则 m 为所求;若否,则继续 判断 f(x1)·f(m)大于 0 还是小于 0。

第三步:若 f(x1)·f(m)>0,则令 x1=m;否则,令 x2=m。

第四步:判断|x1–x2|<0.005 是否成立?若是,则 x1、x2 之间的任意取值均为满足条 件的近似根;若否,则返回第二步。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 教师小结:算法的特性:(1)有穷性;(2)确定性;(3)顺序性;(4)不惟一性;(5) 普遍性 3、巩固练习:

巩固练习:

课本 P5 练习 4、课堂小结 本节课主要讲了算法的概念,算法就是解决问题的步骤,平时列论我们做什么事都离 不开算法,算法的描述可以用自然语言,也可以用数学语言。实际上两种写法无本质 区别,但我们在书写时应尽量用教学语言来描述,它的优越性在以后的学习中我们会 体会到。 2 1(ABC 层) ,2(AB) (ABC 层)1、写出解一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的一个算法。

课 后 学 习 教 学 反 思 2、求过 P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法:

3、P20 习题 A 组 1 (AB)写出解不等式 x2-2x-3<0 的一个算法。

算法的特性不宜面面俱到,强调前三点:(1)有穷性;(2)确定性;(3)顺序 性。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 第 课题 一 单元 第 2 课 年 月 日 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 (一) 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 掌握程序框图的概念;会用通用的图形符号表示算法,掌握算法 的两个基本逻辑结构;掌握画程序框图的基本规则,能正确画出 程序框图。

通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的 过程;学会灵活、正确地画程序框图。

通过本节的学习,使我们对程序框图有一个基本的了解;掌握算 法语言的三种基本逻辑结构,明确程序框图的基本要求;认识到 学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤, 也是我们学习 计算机语言的必经之路。

程序框图的基本概念、基本图形符号和 2 种基本逻辑结构 能综合运用这些知识正确地画出程序框图。 教 学 内 容 分 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 创设情境:

创设情境:

算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们 更经常地用图形方式来表示它。

新课:

二、新课:

程序框图的基本概念:

1、程序框图的基本概念:

(1)起止框图:

表示程序的开始和结束。

(2)输入、输出框:

表示数据的输入或结果的输出。

(3)处理框:

赋值、计算。

(4)判断框:

判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是 惟一的具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“是” 与“否” (也可用“Y”与“N” )两个分支。

例如,我们要打印 x 的绝对值,可以设计如下框图。

开始 输入 x 是 x≥0? 否 打印 x 打印-x 结束 从图中可以看到由判断框分出两个分支,构成一个选择性结构,其中选择的标准 是“x≥0” ,若符合这个条件,则按照“是”分支继续往下执行;若不符合这个条件, 则按照“否”分支继续往下执行,这样的话,打印出的结果总是 x 的绝对值。

在学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框 图的规则如下:

(1)使用标准的图形符号。

(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

(3)除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有 超过一个退出点的惟一符号。

(4)判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有 两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。

(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

2、算法的基本逻辑结构 典例剖析:

典例剖析: 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 尝试练习:已知 x=4,y=2,画出计算 w=3x+4y 的值的程序框图。

解:程序框如下图所示:

开始 x=4,y=2 w=3×x+4×y 输出 w 结束 小结:(1) 顺序结构:顺序结构描述的是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与 框之间是按从上到下的顺序进行的。

例 1:已知一个三角形的三边分别为 2、3、4,利用海伦公式设计一个算法,求出 它的面积,并画出算法的程序框图。

(学生做一做,然后老师点评) 算法分析:这是一个简单的问题,只需先算出 p 的值,再将它代入公式,最后输 出结果,只用顺序结构就能够表达出算法。

开始 程序框图: 输入 a,b,c P=(a+b+c)/2 s=√p(p-a)(p-b)(p-c) 输出 s 结束 (2)条件结构:一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法对描述对 象进行逻辑判断,并根据判断结果进行不同的处理。因此,需要有另一种逻辑结构来 处理这类问题,这种结构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 结构。

例 2:任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断分别以这 3 个数为三边边长的 三角形是否存在,画出这个算法的程序框图。

(学生做一做,然后老师点评) 算法分析:判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在,只需要验收这 3 个数当中任意两个数的和是否大于第 3 个数,这就需要用到条件结构。

程序框图:

开始 输入 a,b,c a+b>c , a+c>b, b+c>a 是 否同时成立? 否 是 存在这样的三角形 不存在这样的三角形 结束 4、巩固练习:

巩固练习:

(ABC 层) (1)设 x 为一个正整数,规定如下运算:若 x 为奇数,则求 3x+2;若 x 为偶 数,则为 5x,写出算法,并画出程序框图。

2 (AB) (2)设计一个求解一元二次方程 ax +bx+c=0 的算法,并画出程序框图表示。

课堂小结:

5、课堂小结:

本节课主要讲述了程序框图的基本知识,包括常用的图形符号、算法的基本逻辑 结构,算法的三种基本逻辑结构中的前面两种:顺序结构、条件结构。

课 后 学 习 教 学 反 思 (ABC)P20 习题 1.1 (AB)B 组 1 A 组 1,3 结合本校学生情况,本节内容较多,条件结构框图可以留待下节课再介绍, 效果会更好。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 第 一 单元 第 3 课 年 月 日 课题 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构(二) 三 知识与 (AB 层)掌握程序框图的概念;会用通用的图形符号表示算法, 维 能力 掌握算法的循环结构;掌握画程序框图的基本规则,能正确画出 教 程序框图。

学 (C 层)了解程序框图的概念;会用通用的图形符号表示算法, 目 理解算法的循环结构;知道画程序框图的基本规则,能正确画出 标 程序框图。

过程与 通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的 方法 过程;学会灵活、正确地画程序框图。

情感、 通过本节的学习,使我们对程序框图有一个基本的了解;掌握算 态度、 法语言的循环结构,明确程序框图的基本要求;认识到学习程序 价值观 框图是我们学习计算机的一个基本步骤, 也是我们学习计算机语 言的必经之路。

教 教学 程序框图的循环结构 学 重点 内 容 教学 能综合运用这些知识正确地画出程序框图。

分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、复习引入:

复习引入:

上一节课我们学习了什么?今天我们继续学习第三种算法的基本逻辑结构——循环结构。

新课:

二、新课:

1、循环结构的定义:

在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这 就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。

循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:

(1)一类是当型循环结构,如图 1-5(1)所示,它的功能是当给定的条件 P1 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P1 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框, 直到某一次条件 P1 不成立为止,此时不再执行 A 框,从 b 离开循环结构。

(2)另一类是直到型循环结构,如下图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P2 是否成立,如果 P2 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P2 成立为止,此时不再 执行 A 框,从 B 点离开循环结构。 A A P 1? P 2? 不成立 成立 不成立 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! B B 当型循环结构 直到型循环结构 (1) (2) 2、典型例题:

例:设计一个计算 1+2+…+100 的值的算法,并画出程序框图。

(学生做一做,然后教师点评) 算法分析:只需要一个累加变量和一个计数变量,将累加变量的初始值为 0,计数变量的值可 以从 1 到 100。 程序框图: 开始 i=1 Sum=0 i=i+1 Sum=sum+i i≤100? 否 是 输出 sum 结束 3、 变式练习:

(ABC 层)设计一个计算1 × 2 × 3 × ???× 100 的值的算法,并画出程序框图。

1 2 3 100 (A 层)画出求 2 +2 +2 +…2 的值的程序框图。

解:程序框图如下图: 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 开始 i=1 p=0 p=p+2i i=i+1 i≥100? 否 是 输出 p 结束 4、课堂小结:

本节课主要讲述了算法的三种基本逻辑结构中的第三种:循环结构。

课 后 学 习 教 学 反 思 第 课题 一 (ABC 层)课本 P20 习题 1.1 A 组 2、 (AB 层)某工厂 2005 年的年生产总值为 200 万元,技术革新后预计以后每 年的年生产总值都比上一年增长 5%.设计一个程序框图,输出预计年生产总 值超过 300 万元的最早年份。

把典型例题的算法步骤和当型、直到型循环结构都在黑板上板演,学生易听 明白,效果较好。 单元 第 4 课 年 月 日 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句 三 维 知识与 能力 (1)正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。

(2)会写一些简单的程序。

(AB 层) (3)掌握赋值语句中的“=”的作用。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 教 学 目 标 过程与 方法 教 正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。

学 内 容 教学 准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。

分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情境 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具,如:

听 MP3,看电影,玩游戏,打字排版,画卡通画,处理数据等等,那么,计算机是 怎样工作的呢? 计算机完成任何一项任务都需要算法,但是,我们用自然语言或程序框图描 述的算法,计算机是无法“看得懂,听得见”的。因此还需要将算法用计算机能 够理解的程序设计语言(programming language)翻译成计算机程序。

程序设计语言有很多种。如 BASIC,Foxbase,C 语言,C++,J++,VB 等。为 了实现算法中的三种基本的逻辑结构:顺序结构、条件结构和循环结构,各种程 序设计语言中都包含下列基本的算法语句: 输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句 情感、 态度、 价值观 教学 重点 (1)让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法; 并能初步操作、模仿。

(2)通过对现实生活情境的探究,尝试设计出解决问题的程序, 理解逻辑推理的数学方法。

通过本节内容的学习,使我们认识到计算机与人们生活密切相 关,增强计算机应用意识,提高学生学习新知识的兴趣。 这就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句。今天,我们先一起来 学习输入、输出语句和赋值语句。

二、探究新知 我们知道,顺序结构是任何一个算法都离不开的基本 结构。输入、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的 顺序结构。

(如右图)计算机从上而下按照语句排列的顺序 执行这些语句。

输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息,输出结果的功能。

三、典型例题:

例 1、用描点法作函数 y = x3 + 3 x 2 ? 24 x + 30 的图象时,需要求出自变量与函数的 一组对应值。编写程序,分别计算当 x = ?5, ?4, ?3, ?2, ?1, 0,1, 2, 3, 4, 5 时的函数值。

程序:

程序:(教师可在课前准备好该程序,教学中直接调用运行) 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 语句 n 语句 n+1 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! INPUT “x=”;x ” y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT x PRINT y END 提问:在这个程序中,你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢?(同学们 互相交流、议论、猜想、概括出结论。提示:

“input”和“print”的中文意思等) (一)输入语句 在该程序中的第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句 输入语句。这个语句的一般格式是:

输入语句 INPUT “提示内容” ;变量 其中, “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时, 依次输入-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给 变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。

INPUT 语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为: INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,…” ;变量 1,变量 2,变量 3,… 例如,输入一个学生数学,语文,英语三门课的成绩,可以写成:

INPUT “数学,语文,英语” ;a,b,c 注:①“提示内容”与变量之间必须用分号“; ”隔开。

②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“, ”隔开。但最后的变量的后 面不需要。

(二)输出语句 在该程序中,第 3 行和第 4 行中的 PRINT 语句是输出语句 输出语句。它的一般格式是:

输出语句 PRINT “提示内容” ;表达式 同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容” 。例如下面的语句可以输出斐波 那契数列: PRINT “The Fibonacci Progression is:; :

” 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “…” 此时屏幕上显示:

The Fibonacci Progression is :

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … 输出语句的用途:

(1)输出常量,变量的值和系统信息。

(2)输出数值计算的结果。

思考:在 1.1.2 中程序框图中的输入框,输出框的内容怎样用输入语句、输出语 句来表达?(学生讨论、交流想法,然后请学生作答) (三)赋值语句 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。

除了输入语句,在该程序中第 2 行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般 格式是: 变量=表达式 赋值语句中的“=”叫做赋值号。

= 赋值语句的作用:先计算出赋值号右边表达式的值,然后把这个值赋给赋值号左 边的变量,使该变量的值等于表达式的值。

注:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。

②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算。

(如化简、因式分解、解方程等) ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

思考:在 1.1.2 中程序框图中的输入框,哪些语句可以用赋值语句表达?并写出 相应的赋值语句。

(学生思考讨论、交流想法。

) 例 2:编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。

分析:先写出算法,画出程序框图,再进行编程。

算法:

程序:

算法:

程序: 开始 输入 a,b,c y= a+b+c 3 INPUT “数学 ”;a 数学=” INPUT “语文 ”;b 语文=” INPUT “英语 ”;c 英语=” y=(a+b+c)/3 PRINT “The average=”;y END 输出 y 结束 例 3:给一个变量重复赋值。

程序:

程序: A=10 A=A+10 PRINT A END A=10 A=A+15 PRINT A A=A+5 PRINT A END [变式引申]:在此程序的基础上,设计一个程序,要求最后 A 的输出值是 30。

] 程序:

程序: 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 例 4:交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值。

分析:引入一个中间变量 X,将 A 的值赋予 X,又将 B 的值赋予 A,再将 X 的值赋予 B,从而达到交换 A,B 的值。

(比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶) 程序:

程序: INPUT INPUT PRINT X=A A=B B=X PRINT END A B A,B , A,B , 四、巩固练习:

P24 练习 1. 2. 3 (AB 层)练习 4 五、课堂小结 本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。掌握并应用输 入语句,输出语句,赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题,特别是掌握赋值语 句中“=”的作用及应用。编程一般的步骤:先写出算法,再进行编程。我们要养成良 好的习惯,也有助于数学逻辑思维的形成。

课 后 学 习 教 学 反 思 第 课题 (ABC 层)1.P33 习题 1.2 A 组 1、2 (A 层)2.试对生活中某个简单问题或是常见数学问题,利用所学基本算法 语句等知识来解决自己所提出的问题。要求写出算法,画程序框图,并写出 程序设计。

书本上的代码是用 QBASIC 语言编写的,上课时用 QBASIC 语言编程软件把代 码输进去,马上运行实现,学生很有兴趣,效果不错。 一 单元 第 5 课 年 月 日 1.2.2 条件语句 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (C 层)正确理解条件语句的概念及其结构;会应用条件语句编 写程序。

(AB 层) (1)正确理解条件语句的概念,并掌握其结构;掌握 应用条件语句编写程序。

经历对现实生活情境的探究, 认识到应用计算机解决数学问 题方便简捷,促进发展学生逻辑思维能力 了解条件语句在程序中起判断转折作用, 在解决实际问题中 起决定作用。减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学习,有 益于我们养成严谨的数学思维以及正确处理问题的能力。

条件语句的步骤、结构及功能。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 教 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 学 重点 内 教学 会编写程序中的条件语句。

容 难点 分 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情境 试求自然数 1+2+3+……+99+100 的和。

显然大家都能准确地口算出它的答案:5050。而能不能将这项计算工作交给计算 机来完成呢?而要编程, 以我们前面所学的输入、 输出语句和赋值语句还不能满足 “我 们日益增长的物质需要” ,因此,还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种,我们 首先学习条件语句。

二、探究新知 条件语句 算法中的条件结构是由条件语句来表达的, 是处理条件分支逻辑结构的算法语句。

它的一般格式是:

IF-THEN-ELSE 格式) ( ) IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 满足条件? 否 是 语句 1 语句 2 当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。其对应的程序框图为:

(如上右图) 在某些情况下,也可以只使用 IF-THEN 语句:

(即 IF-THEN 格式) 是 IF 条件 THEN 语句 END IF 满足条件? 否 语句 计算机执行这种形式的条件语句时, 也是首先对 IF 后的条件进行判断, 如果条件 符合,就执行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接结束该条件语句,转而执行其 他语句。其对应的程序框图为:

(如上右图) 条件语句的作用:在程序执行过程中,根据判断是否满足约定的条件而决定是否 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同情 况进行不同的处理。

三、典型例题:

例 1:编写程序,输入一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的系数,输出它的实数根。

分析:先把解决问题的思路用程序框图表示出来,然后再根据程序框图给出的 算法步骤,逐步把算法用对应的程序语句表达出来。

算法分析:

算法分析 :

我们知道,若判别式 ? = b 2 ? 4ac >

0 ,原方程有两个不相等的实数根 x1 = ?b + ? ?b ? ? 、x2 = ; 2a 2a 若 ? = 0 ,原方程有两个相等 b 的实数根 x1 = x2 = ? ; 若 2a ? <

0 ,原方程没有实数根。

也就是说,在求解方程之前, 需要首先判断判别式的符 号。因此,这个过程可以用 算法中的条件结构来实现。

又因为方程的两个根有 相同的部分, 为了避免重复计 算,可以在计算 x1 和 x2 之前, 先计算 p = ? b ,q = 。

2a 2a ? INPUT “Please input a,b,c =”;a,b,c , , ” , , d=b*b-4*a*c p=-b/(2 a) = b/(2*a) q=SQR(ABS(d))/(2 a) /(2*a) = /(2 d>= IF d>=0 THEN x1=p+q = x2=p-q = IF x1=x2 THEN PRINT “One real root:”;x1 ELSE PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2 “ ” 程序框图:

(参照课本) 程序框图:

程序:(如右图所示) 程序 注:SQR()和 ABS()是两个函数,分别用来求某个数的平方根和绝对值。

即 SQR ( x) = x , ABS( x) = {-xx((xx≥<0) 0). 例 2:编写程序,使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出。

算法分析:用 a,b,c 表示输入的 3 个整数;为了节约变量,把它们重新排列后, 算法分析 仍用 a,b,c 表示,并使 a≥b≥c.具体操作步骤如下。

第一步:输入 3 个整数 a,b,c. 第二步:将 a 与 b 比较,并把小者赋给 b,大者赋给 a. 第三步:

a 与 c 比较. 并把小者赋给 c, 将 大者赋给 a, 此时 a 已是三者中最大的。

第四步:将 b 与 c 比较,并把小者赋给 c,大者赋给 b,此时 a,b,c 已按从大到 小的顺序排列好。

第五步:按顺序输出 a,b,c. 程序框图:

(参照课本 P28) 程序框图:

程序:

程序:(如右所示) 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 四、尝试练习:铁路部门托运行李的收费方法如 下:

y 是收费额(单位:元) 是行李重量(单 ,x 位:kg),当 0<x≤20 时,按 0.35 元/kg 收费, 当 x>20kg 时,20kg 的部分按 0.35 元/kg,超出 20kg 的部分,则按 0.65 元/kg 收费,请根据上 述收费方法编写程序。

分 析 :

首 先 由 题 意 得 : x, y = { 0.35×20 + 0.65( x ? 20), 0<

x ≤ 20, 该函数是个 0.35 x >

20. 分段函数。需要对行李重量作出判断,因此,这 个过程可以用算法中的条件结构来实现。

程序:

程序 :

INPUT “请输入旅客行李的重量 (kg)x=”;x IF x>0 AND x<=20 THEN y=0.35*x ELSE y=0.35*20+0.65*(x-20) END IF PRINT “该旅客行李托运费为:;y ” END 五、巩固练习 (ABC 层)1.P29 练习 1、2 (AB 层)2.P29 练习 3. 六、课堂小结 本节课主要学习了条件语句的结构、特点、作用以及用法,并懂得利用解决一些 简单问题。条件语句使程序执行产生的分支,根据不同的条件执行不同的路线,使复 杂问题简单化。条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中,如判断一个数 的正负,确定两个数的大小等问题,还有求分段函数的函数值等,往往要用条件语句, 有时甚至要用到条件语句的嵌套。

七、课外作业:

课 (ABC 层)1. P33 习题 1.2 B 组 3. 后 (AB 层)2.试设计一个生活中某个简单问题或是常见数学问题,并利用所 学 学基本算法语句等知识编程。

(要求所设计问题利用条件语句) 习 教 让学有余力的学生设计生活中某个简单问题或是常见数学问题,并利用所学 学 基本算法语句等知识编程可增强学生对算法的学习兴趣及应用意识,但编程 反 不应要求太高。

思 第 课题 一 单元 第 6 课 年 月 日 INPUT “a,b,c =”;a,b,c , , ” , , IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF IF c>a THEN t=a a=c c=t END IF IF c>b THEN t=b b=c c=t END IF PRINT a,b,c , , END 1.2.3 循环语句 知识与 (AB 层) (1)正确理解循环语句的概念,并掌握其结构与条件 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 三 维 教 学 目 标 能力 教 学 内 容 教学 会编写程序中的条件语句和循环语句。

分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情境 问题:什么是条件语句?它如何构成、有何作用? 二、探究新知 循环语句的定义 算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构, 一般程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。

1、WHILE 语句的一般格式是: 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 语句的区别与联系。

2) ( 掌握应用条件语句和循环语句编写程序。

(AB 层) (1)正确理解循环语句的概念,能理解其结构与条件 语句的区别与联系。

(2)会应用条件语句和循环语句编写程序。

经历对现实生活情境的探究, 认识到应用计算机解决数学问 题方便简捷,促进发展学生逻辑思维能力 深刻体会到循环语句在解决大量重复问题中起重要作用。

减 少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学习,有益于我们养成严 谨的数学思维以及正确处理问题的能力。

条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。 循环体 WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件? 是 否 其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是用 于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。

当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这 个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接 跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试 型”循环。其对应的程序结构框图为:

(如上右图) 2、UNTIL 语句的一般格式是: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 循环体 否 满足条件? 是 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 其对应的程序结构框图为:

(如上右图) 思考:直到型循环又称为“后测试型”循环,参照其直到型循环结构对应的程序 框图,说说计算机是按怎样的顺序执行 UNTIL 语句的?(让学生模仿执行 WHILE 语句 的表述) 从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行 条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个 过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执 行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

提问:

通过对照, 大家觉得 WHILE 型语句与 UNTIL 型语句之间有什么区别呢? (让 学生表达自己的感受) 区别:在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,而在 UNTIL 语句中,是当 条件不满足时执行循环体。

三、典型例题 例 1:编写程序,计算自然数 1+2+3+……+99+100 的和。

分析:这是一个累加问题。我们可以用 WHILE 型语句,也可以用 UNTIL 型语句。

由此看来,解决问题的方法不是惟一的,当然程序的设计也是有多种的,只是程序简 单与复杂的问题。

WHILE 程序:

型 :

UNTIL i=1 i=1 型: sum=0 WHLIE i<=100 sum=sum+i i=i+1 WEND PRINT sum sum=0 DO sum=sum+i i=i+1 LOOP UNTIL i>100 PRINT sum END INPUT “n=”;n ” flag=1 IF n>2 THEN d=2 WHILE d<=n-1 AND flag=1 IF n MOD d=0 THEN flag=0 ELSE d=d+1 END IF WEND ELSE IF flag=1 THEN PRINT n; 是质数。

; 是质数。

“ ” ELSE PRINT n; 不是质数。

; 不是质数。

“ ” 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 例 2 :

根 据 1.1.2 中 的 图 1.1-2,将程序框图转化为程序语 句。

分析:仔细观察,该程序框图 中既有条件结构,又有循环结构。

程序:

程序: 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 思考:上述判定质数的算法是否还能有所改进?(让学生课后思考。

) 四、尝试练习:某纺织厂 1997 年的生产总值为 300 万元,如果年生产增产率为 5﹪, 计算最早在哪一年生产总值超过 400 万元。

x 分析:从 1997 年底开始,经过 x 年后生产总值为 300×(1+5﹪) ,可将 1997 年 生产总值赋给变量 a,然后对其进行累乘,用 n 作为计数变量进行循环,直到 a 的值 超过 400 万元为止。

解:

程序框图:

程序:

程序框图:

程序: 开始 a=300,p=1.05,n=1997 a>400? 否 是 输出 n a=a*p a=300 p=1.05 n=1997 DO a=a*p n=n+1 LOOP UNTIL a>400 PRINT n END n=n+1 结束 五、巩固练习 (ABC 层)1.P32 练习 2. (AB 层 2.P32 练习 1. 六、课堂小结 本节课主要学习了循环语句的结构、特点、作用以及用法,并懂得利用解决一些 简单问题。有些复杂问题可用两层甚至多层循环解决。注意内外层的衔接,可以从循 环体内转到循环体外,但不允许从循环体外转入循环体内。

条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中,如判断一个数的正负,确 定两个数的大小等问题,还有求分段函数的函数值等,往往要用条件语句,有时甚至 要用到条件语句的嵌套。

循环语句主要用来实现算法中的循环结构, 在处理一些需要反复执行的运算任务。

如累加求和,累乘求积等问题中常用到。

课 (ABC 层)1. P33 习题 1.2 A组 3 P33 习题 1.2 B 组 2. 后 (AB)2.试设计一个生活中某个简单问题或是常见数学问题,并利用所学 学 基本算法语句等知识编程。

(要求所设计问题利用循环语句) 习 教 学生对循环语句的结构形式能掌握,但循环语句中两种循环结构的判断条件 学 容易混淆,住院部举例强调。

反 思 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 第 课题 一 单元 第 7 课 年 月 日 1.3 三 维 教 学 目 标 算法案例 案例 1 辗转相除法与更相减损术 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教 教学 学 重点 内 容 教学 把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情景 (一).教师首先提出问题:在初中,我们已经学过求最大公约数的知识,你能求 出 18 与 30 的公约数吗? (二) .接着教师进一步提出问题, 我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数, 如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数,我们又应该怎样求它 们的最大公约数?比如求 8251 与 6105 的最大公约数?这就是我们这一堂课所要探讨 的内容。

二、探究新知 (一).辗转相除法 例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。

(分析:8251 与 6105 两数都比较大,而且没有明显的公约数,如能把它们都变 小一点,根据已有的知识即可求出最大公约数) 解:8251=6105×1+2146 显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数,同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的约数,所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数。

6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! (C 层)1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并 能根据这些原理进行算法分析。

(AB 层)能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框 图并写出算法程序。

在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对 比我们常见的约分求公因式的方法,比较它们在算法上的区别, 并从程序的学习中体会数学的严谨, 领会数学算法计算机处理的 结合方式,初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。

1.通过阅读中国古代数学中的算法案例, 体会中国古代数学 对世界数学发展的贡献。

2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严 谨的逻辑思维能力, 在利用算法解决数学问题的过程中培养理性 的精神和动手实践的能力。

理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几 里德在公元前 300 年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:

第一步:用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0 和一个余数 r0; 第二步:若 r0=0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 r0≠0,则用除数 n 除以余数 r0 得到一个商 q1 和一个余数 r1; 第三步:若 r1=0,则 r1 为 m,n 的最大公约数;若 r1≠0,则用除数 r0 除以余数 r1 得到一个商 q2 和一个余数 r2; …… 依次计算直至 rn=0,此时所得到的 rn-1 即为所求的最大公约数。

练习:利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数(答案:53) (二).更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。

更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母·子之 数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。

翻译出来为:

第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是, 执行第二步。

第二步:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数 减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大 公约数。

例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解:由于 63 不是偶数,把 98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,即:98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以,98 与 63 的最大公约数是 7。

练习:用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数。

(答案:12) (三).比较辗转相除法与更相减损术的区别 1、都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法 为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计 算次数的区别较明显。

2、从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相 减损术则以减数与差相等而得到。

3、辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序。

利用辗转相除法与更相减损术的计算算法,我们可以设计出程序框图以及 BSAIC 程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数,下面由同学们设计相 应框图并相互之间检查框图与程序的正确性,并在计算机上验证自己的结果。

(1)辗转相除法的程序框图及程序 程序框图: 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 开始 输入两个正 整数m,n m>n? 否 x=n n=m m=x 是 r=m MOD n n=r m=n 否 r=0? 是 输出n 结束 程序:

INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m<n THEN x=m m=n n=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 三.课堂练习 (ABC 层) (一).用辗转相除法求下列各组数的最大公约数。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 1、225 与 135; 2、98 与 196; 3、72 与 168; 4、153 与 119。

(AB 层) (二).思考:用求质因数的方法可否求上述 4 组数的最大公约数?可否 利用求质因数的算法设计出程序框图及程序?若能,在电脑上测试自己的程序;若不 能说明无法实现的理由。

(A 层) (三) 、思考:利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数?试设计程 序框图并转换成程序在 BASIC 中实现。

四.课堂小结:

辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。 课 后 学 习 教 学 反 思 第 一 课题 五、课外作业:

作业:P48 习题 1.3(ABC 层) A 组 1 (AB 层)B 组 2 (A 层)设计更相减损术求最大公约数的程序框图 更相减损术求最大公约数与辗转相除法求最大公约数有异曲同工之妙,各有 优缺点,但前者的程序框图较难编写,对中等以下同学不宜作要求,可让学 有余力的学生学生尝试编写,挑战自己的能力。 单元 第 8 课 年 月 日 1.3 三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析 教 学 算法案例 案例 2 秦九韶算法 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 流 程 与 (ABC 层)了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法 可以减少计算次数提高计算效率的实质。

(AB 层)能模仿秦九韶计算方法求多项式的函数值。

模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙。

通过对秦九韶算法的学习, 了解中国古代数学家对数学的贡 献,充分认识到我国文化历史的悠久。

秦九韶算法的特点 秦九韶算法的先进性理解 教 学 内 容 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 一、创设情景 我们已经学过了多项式的计算,下面我们计算一下多项式 f ( x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 当 x = 5 时的值,并统计所做的计算的种类及计算次 数。

根据我们的计算统计可以得出我们共需要 10 次乘法运算,5 次加法运算。

我们把多项式变形为:

f ( x) = x 2 (1 + x(1 + x(1 + x))) + x + 1 再统计一下计算当 x = 5 时的值时需要的计算次数,可以得出仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果。显 然少了 6 次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。

二、探究新知 1.秦九韶计算多项式的方法 f ( x) = a n x n + a n ?1 x n ?1 + a n? 2 x n? 2 + L + a1 x + a 0 = (a n x n ?1 + a n ?1 x n ? 2 + a n ?2 x n ?3 + L + a1 ) x + a 0 = ((a n x n? 2 + a n ?1 x n ?3 + L + a 2 ) x + a1 ) x + a 0 = LL = (L ((a n x + a n?1 ) x + a n ? 2 ) x + L + a1 ) + a 0 例 1 已知一个 5 次多项式为 f ( x) = 5 x 5 + 2 x 4 + 3.5 x 3 ? 2.6 x 2 + 1.7 x ? 0.8 用秦九韶算法求这个多项式当 x = 5 时的值。

解:略 思考:

(1)例 1 计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算? (2)在利用秦九韶算法计算 n 次多项式当 x = x0 时需要多少次乘法计算和多少次 加法计算? P45 练习 2:利用秦九韶算法计算 f ( x) = 0.83 x 5 + 0.41x 4 + 0.16 x 3 + 0.33 x 2 + 0.5 x + 1 当 x = 5 时的值,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算? 例 2 设计利用秦九韶算法计算 5 次多项式 f ( x) = a5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 当 x = x0 时的值的程序框图。 解:程序框图如下: 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 课外练习:利用程序框图试编写 BASIC 程序并在计算机上测试自己的程序。

三.课堂小结: 秦九韶算法计算多项式的值及程序设计 课 后 学 习 教 学 反 思 第 课题 (ABC 层)P48 习题 1.3A 组 2 (AB 层)P48 习题 1.3A 组 2 这部分内容重在应用,算法跟语句可以简化。 一 单元 第 9 课 年 月 日 1.3 三 维 教 学 目 算法案例 案例 3 进位制 知识与 能力 过程与 方法 情感、 (AB 层)理解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利 用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

(C 层)了解各种进位制与十进制之间转换的规律。

学习各种进位制转换成十进制的计算方法, 研究十进制转换为各 种进位制的除 k 去余法,并理解其中的数学规律。

领悟十进制, 二进制的特点, 了解计算机的电路与二进制的联系, 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 标 教 各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换 学 内 容 教学 除 k 去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计 分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情景 我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比 如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不 同的进位制之间又又什么联系呢? 二、探究新知 进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数 字符号的个数称为基数,基数为 n,即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是 十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。

对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数 57,可以用二 进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代表 的数值都是一样的。

表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5) 表示 5 进制数. 电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化 例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数. 解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20 =32+16+2+1 =51 例 2 把 89 化为二进制数. 解:根据二进制数满二进一的原则,可以用 2 连续去除 89 或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下: 89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0 11=2*5+1 5=2*2+1 所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1 =1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20 =1011001(2) 这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除法算式表示: 态度、 价值观 教学 重点 进一步认识到计算机与数学的联系。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 2 2 2 2 2 2 89 44 22 11 5 2 2 1 0 余数 1 0 0 1 1 0 1 把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到 89=1011001(2) 上述方法也可以推广为把十进制化为 k 进制数的算法,这种算法成为除 k 取余法. 三、巩固练习:(ABC 层)1、把 73 转换为二进制数 (AB 层)2、利用除 k 取余法把 89 转换为 5 进制数 (A 层)3、设计一个程序,实现“除 k 取余法” 。

四、课堂小结: 1、进位制的概念及表示方法 2、十进制与二进制之间转换的方法及计算机程序 课 后 学 习 教 学 反 思 五、课外作业:

(ABC 层)P48 习题 1.3 A 组 3 (AB 层) :设计程序框图把一个八进制数 23456 转换成十进制数. 例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数.可让学生仿照秦九韶算法计算 多项式的值及程序设计编写程序框图。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 第 课题 一 单元 第 10 课 年 月 日 算法初步 复习课 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (AB 层)1.明确算法的含义,掌握算法的三种基本结构:顺序、 条件和循环,以及基本的算法语句。2.能熟练运用辗转相除法与 更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决 同类问题。

(C 层)1.了解算法的含义,理解算法的三种基本结构:顺序、 条件和循环,以及基本的算法语句。2.能模仿运用辗转相除法与 更相减损术、秦九韶算法、排序、进位制等典型的算法知识解决 同类问题。

在复习旧知识的过程中把知识系统化,通过模仿、操作、探 索,经历设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决 过程中进一步理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分 支、循环。

算法内容反映了时代的特点, 同时也是中国数学课程内容的新特 色。中国古代数学以算法为主要特征,取得了举世公认的伟大成 就。

现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活 力,算法进入中学数学课程,既反映了时代的要求,也是中国古 代数学思想在一个新的层次上的复兴, 也就成为了中国数学课程 的一个新的特色。

算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教 学 内 容 分 析 教 学 教学 重点 教学 难点 流 程 与 与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写 教 学 内 容 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 一.本章的知识结构 二.知识梳理 (一)四种基本的程序框 (二)三种基本逻辑结构 (三)基本算法语句 1、输入语句 单个变量 INPUT “提示内容” 变量 ; 提示内容” INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,…” 变量 1,变量 2, 提示内容 , , , ; , , 多个变量 2、输出语句 3 赋值语句 PRINT “提示内容” 表达式 ; 提示内容” 变量= 变量=表达式 4、条件语句 IF-THENIF-THEN-ELSE 格式 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 满足条件? 否 是 语句 1 语句 2 IFIF-THEN 格式 是 IF 条件 THEN 语句 END IF 满足条件? 否 语句 (五)循环语句 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (1)WHILE 语句 WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件? 循环体 是 否 (2)UNTIL 语句 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 循环体 否 满足条件? 是 (四)算法案例 案例 1 辗转相除法与更相减损术 案例 2 秦九韶算法 案例 3 进位制 三.典型例题 例 1 写一个算法程序,计算 1+2+3+…+n 的值(要求可以输入任意大于 1 的正自然数) 思考:

在上述程序语句中我们使用了 WHILE 格式 格式的循环语句, 能不能使用 UNTIL 循环? 例 2 把十进制数 53 转化为二进制数. (C 层)练习:将十进制数 2008 转化成二进制数 (AB 层)练习:用“除 k 取余法”将十进制数 53 转化成八进制数 例 3 利用辗转相除法求 3869 与 6497 的最大公约数与最小公倍数。

思考:上述计算方法能否设计为程序框图? 练习:P40 A(3) (4) 课 后 学 习 教 学 反 思 (ABC 层)P50 复习参考题 A 组 1(1) ,4 (AB 层)P50 复习参考题 A 组 3 梳理知识,形成知识结构。 第 二 单元 第 1 课 年 月 日 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 课题 2.1.1 简 单 随 机 抽 样 知识与 能力 (AB 层)正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法 的一般步骤。

(C 层)正确理解随机抽样的概念,了解抽签法、随机数表法的 一般步骤。

(1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问 题; (2)在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从 总体中抽取样本。

通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出, 体会数学知识与 现实世界及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性。

正确理解简单随机抽样的概念,掌握抽签法及随机数法的步骤。 三 维 教 学 目 标 过程与 方法 教 学 内 容 分 析 教 学 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 流 程 与 灵活应用相关知识从总体中抽取样本。 教 学 内 容 【创设情景】假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干 进行卫生达标检验,你准备怎样做? 显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。

(为什么?)那么,应 当怎样获取样本呢? 【探究新知】 一、简单随机抽样的概念 一般地, 设一个总体含有 N 个个体, 从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 (n ≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫 做简单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本。

【说明】简单随机抽样必须具备下列特点:

(1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的。

(2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N。

(3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的。

(4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。

(5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N。

思 考 :

下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么? (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本。

(2) 箱子里共有 100 个零件, 从中选出 10 个零件进行质量检验, 在抽样操作中, 从中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子。

二、抽签法和随机数法 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 1、抽签法的定义。

一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在 一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量 为 n 的样本。

【说明】抽签法的一般步骤:

(1)将总体的个体编号。

(2)连续抽签获取样本号码。

思考? 你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? 2、随机数法的定义:

利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法,这 里仅介绍随机数表法。

怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明, 假设我们要考察某公司生 产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标, 现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验, 利用随 机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行。

第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,…,799。

第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说 明,下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行) 。

16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 63 33 57 87 21 12 15 90 42 01 21 60 35 76 86 51 52 17 63 12 86 20 33 73 00 84 53 78 34 32 96 50 58 13 77 31 59 29 44 43 25 07 42 27 57 16 78 09 84 83 44 99 08 24 95 64 47 26 92 39 66 02 55 55 56 27 34 12 52 02 73 06 67 07 96 91 06 38 79 43 88 19 82 54 64 76 79 54 28 77 98 52 49 04 10 42 17 74 50 07 46 47 71 44 09 67 75 38 62 第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) , 得到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右 读,得到 916,由于 916>799,将它去掉,按照这种方法继续向右读,又取出 567, 199,507,…,依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出,这样我们就得到一个容量 为 60 的样本。

【说明】随机数表法的步骤:

(1)将总体的个体编号。

(2)在随机数表中选择开始数字。

(3)读数获取样本号码。

【例题精析】 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 例 1:人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌 时,对任何一家来说,都是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随 机抽样? [分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本, 而这里只是随机确 定了起始张,其他各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简 单随机抽样。

例 2:某车间工人加工一种轴 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件 轴在同一条件下测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? [分析] 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法。

解法 1:

(抽签法)将 100 件轴编号为 1,2,…,100,并做好大小、形状相同的 号签,分别写上这 100 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续抽取 10 个号签,然后测量这个 10 个号签对应的轴的直径。

解法 2:

(随机数表法)将 100 件轴编号为 00,01,…99,在随机数表中选定一个 起始位置,如取第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74, 77,40,44,这 10 件即为所要抽取的样本。

【课堂练习】P57 练习 1,2, 4 (AB 层)3, 【课堂小结】 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个 体的方法:放回和不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽 样方法有抽签法和随机数法。

2、抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不 方便,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法 相同,缺点上当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种 方法只适合总体容量较少的抽样类型。

3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 n/N,但是这里一定要将每 个个体入样的可能性、第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的 可能性这三种情况区分开来,避免在解题中出现错误。

课 后 学 习 1、为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下 列说法正确的是( ) A.总体是 240 B、个体是每一个学生 C、样本是 40 名学生 D、样本容 量是 40 2、为了正确所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这 个问题中,200 个零件的长度是( ) A、总体 B、个体是每一个学生 C、总体的一个样本 D、样 本容量 3、一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量 为 20 的样本,则某一特定个体被抽到的可能性是 。

(AB 层)4、从 3 名男生、2 名女生中随机抽取 2 人,检查数学成绩,则抽 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 到的均为女生的可能性是 教 学 反 思 第 课题 。 简单随机抽样跟学生的日常生活常识练习较大,学生熟悉,易掌握。 二 单元 第 2 课 年 月 日 2.1.2 系统抽样 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (ABC 层) (1)正确理解系统抽样的概念; (AB 层) (2)掌握系统抽样的一般步骤; (ABC 层) (3)正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系; 通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的方 法,理解分类讨论的数学方法, 通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实世界和数 学知识的联系。

正确理解系统抽样的概念, 教 学 内 容 分 析 教 学 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 流 程 与 能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。 教 学 内 容 :某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 【创设情境】 创设情境】 名学生中抽取 50 名进行调查, 除了用简单随机抽样获取样本外, 你能否设计其他抽取 样本的方法? 探究新知】 【探究新知】 一、系统抽样的定义:

一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干 部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这 种抽样的方法叫做系统抽样。

【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证:

说明】 (1)当总体容量 N 较大时,采用系统抽样。

(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因 此,系统抽样又称等距抽样,这时间隔一般为 k=[ N ]. n (3) 预先制定的规则指的是:

在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号, 在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。

思考? 思考? 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (1)你能举几个系统抽样的例子吗? (2)下列抽样中不是系统抽样的是 ( ) A、从标有 1~15 号的 15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到 大号排序,随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B 工厂生产的产品,用传关带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔 五分钟抽一件产品检验 C、搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先 规定的调查人数为止 D、电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众 留下来座谈 点拨: 点拨:(2)c 不是系统抽样,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体 按事先规定的概率入样。

二、系统抽样的一般步骤。

(1)采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。

(2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,L≤k). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L(L∈N,L≤k) 。

(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个 体编号 L+K,再加上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K,这样继续下去,直到获取整 个样本。

【说明】从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分 说明】 分块解决,从而把复杂问题简单化,体现了数学转化思想。

例题精析】 【例题精析】 例 1、某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,……,295,为了了解学生 的学习情况,要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过 程。

[分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段 分析] 的编号。

解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分 成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依次下去,59 组是编号为 291~295 的 5 名学生。采用简单随机抽样的方法, 从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 k(1≤k≤5),那么抽取的学生编号 为 k+5L(L=0,1,2,……,58),得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3, 8,13,……,288,293。

例 2、从忆编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进 行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 的编号可能是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B、3,13,23,33,43 D、2,4,6,16,32 [分析]用系统抽样的方法抽取至的导弹编号应该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求, 故选 B。

课堂练习】 【课堂练习】P59 课堂小结】 【课堂小结】 练习 1. 3 (AB 层)2. 1、在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统 抽样的步骤为:

(1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预定的规则抽取样本。

2、在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 等可能剔除的方剔除部分个体,以获得整数间隔 k。

1、从 2005 个编号中抽取 20 个号码入样,采用系统抽样的方法,则抽样的 课 后 学 习 间隔为( )A.99 B、99.5 C.100 D、100.5 N n 不是整数时,应采用 2、 从学号为 0~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试, 采用系统抽样的方法,则所选 5 名学生的学号可能是 A.1,2,3,4,5 C.2, 4, 6, 8, 10 B、5,16,27,38,49 D、4,13,22,31,40 ( ) 3、采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本, 那么每个个体人样的可能性为 A.8 B.8,3 C.8.5 D.9 ( ) 4、某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满 了学生,会后为了了解有关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测 试,这里运用的是 抽样方法。

(AB 层)5、某单位的在岗工作为 624 人,为了调查工作上班时,从家到单 位的路上平均所用的时间,决定抽取 10%的工作调查这一情况,如何采用系 统抽样的方法完成这一抽样? 教 学 反 思 第 二 理解系统抽样的思想,过程和步骤,才解决系统抽样的有关问题。 单元 第 3 课 年 月 日 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 课题 2.1.3 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 分层抽样 (ABC 层) (1)正确理解分层抽样的概念; (AB 层) (2)掌握分层抽样的一般步骤; (ABC 层) (3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,并选 择适当正确的方法进行抽样。

通过对现实生活中实际问题进行分层抽样, 感知应用数学知识解 决实际问题的方法。

通过对统计学知识的研究,感知数学知识中“估计与“精确”性 的矛盾统一,培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。

正确理解分层抽样的定义 灵活应用分层抽样抽取样本, 并恰当的选择三种抽样方法解决现 实生活中的抽样问题。 教 学 内 容 分 析 教 学 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 流 程 与 教 学 内 容 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 【创设情景 创设情景】 创设情景 假设某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,此地 教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因,要从本地区的 小学生中抽取 1%的学生进行调查,你认为应当怎样抽取样本? 【探究新知 探究新知】 探究新知 一、分层抽样的定义。

一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各 层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样 的方法叫分层抽样。

说明】 【说明】分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求:

(1)分层:将相似的个体归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交 叉,即遵循不重复、不遗漏的原则。

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样, 每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。

二、分层抽样的步骤:

(1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。

(2)按比例确定每层抽取个体的个数。

(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。

(4)综合每层抽样,组成样本。

说明】 【说明】 (1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则。

(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。

(3)各层抽样按简单随机抽样进行。

探究交流 (1)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层) ,然后每层抽取若 干个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能入样,必须进行 ( ) A、每层等可能抽样 B、每层不等可能抽样 C、所有层按同一抽样比等 可能抽样 (2)如果采用分层抽样,从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 样本,那么每 个个体被抽到的可能性为 ( ) 1 1 n n A. N B. n C. N D. N 点拨:

(1)保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 点拨:

共同的特征,为了保证这一点,分层时用同一抽样比是必不可少的,故 此选 C。

(2)根据每个个体都等可能入样,所以其可能性本容量与总体容量 比,故此题选 C。

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 适 用 类 别 共同点 各自特点 联 系 范 围 简 单 (1)抽样过程中每 总体个 从总体中逐个抽取 随 机 个个体被抽到 数较少 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 抽 样 系 统 抽 样 分 层 抽 样 的可能性相等 将总体均分成几部 (2)每次抽出个体 分, 按预先制定的规 后不再将它放 则在各部分抽取 回,即不放回 抽样 将总体分成几层, 分层进行抽取 在起始部分 样时采用简 随机抽样 总体个 数较多 总体由 差异明 显的几 部分组 成 分层抽样时采 用简单随机抽 样或系统抽样 【例选精析】 例选精析】 例1、 某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取 的人数分别为 A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20 分析] [分析]因为 300:200:400=3:2:4,于是将 45 分成 3:2:4 的三部分。设三部 分各抽取的个体数分别为 3x,2x,4x,由 3x+2x+4x=45,得 x=5,故高一、高 二、高三各年级抽取的人数分别为 15,10,20,故选 D。

例 2:一个地区共有 5 个乡镇,人口 3 万人,其中人口比例为 3:2:5:2:3,从 3 万人中抽取一个 300 人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同 的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程。

分析] [分析]采用分层抽样的方法。

解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显, 因而采用分层抽样的方法,具体过程如下:

(1)将 3 万人分为 5 层,其中一个乡镇为一层。

(2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本。

300×3/15=60 (人) 300×2/15=100 , (人) 300×2/15=40 , (人) 300×2/15=60 , (人) , 因此各乡镇抽取人数分别为 60 人、40 人、100 人、40 人、60 人。

(3)将 300 人组到一起,即得到一个样本。

课堂练习】 【课堂练习】P62 练习 1. 2. (AB 层) 3 课堂小结】 【课堂小结】 1、 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法, 进行分层抽样 时应注意以下几点:

(1) 、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本 的差异要小,面层之间的样本差异要大,且互不重叠。

(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样。

(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。

2、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各 种抽样方法,因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。

1、某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们 课 的身体情况,需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,则适合的抽取方法是 后 ( ) 学 A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 习 D.先从老人中剔除 1 人,然后再分层抽样 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 教 学 反 思 第 课题 2、某校有 500 名学生,其中 O 型血的有 200 人,A 型血的人有 125 人, B 型血的有 125 人,AB 型血的有 50 人,为了研究血型与色弱的关系,要从 中抽取一个 20 人的样本,按分层抽样,O 型血应抽取的人数为 人, 人,B 型血应抽取的人数为 人, A 型血应抽取的人数为 AB 型血应抽取的人数为 人。

3、某中学高一年级有学生 600 人,高二年级有学生 450 人,高三年级 有学生 750 人,每个学生被抽到的可能性均为 0.2,若该校取一个容量为 n 的样本,则 n= 。

(AB 层)4、对某单位 1000 名职工进行某项专门调查,调查的项目与职 工任职年限有关,人事部门提供了如下资料:

任职年限 5 年以下 5 年至 10 年 10 年以上 人数 300 500 200 试利用上述资料设计一个抽样比为 1/10 的抽样方法。

小结中可增加加问题:何时选择何种抽样方法? 二 单元 第 4 课 年 月 日 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(一) 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (1)通过实例体会分布的意义和作用。

(2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分 布直方图、频率折线图和茎叶图。

(3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各 自特征。

(AB 层)恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地 做出总体估计。

通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法,理 解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需 要,认识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识 与现实世界的联系。

会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 教 学 内 容 分 析 教 学 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 流 程 与 能通过样本的频率分布估计总体的分布。 教 学 内 容 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 【创设情境】 】 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如 下﹕ 甲运动员得分﹕12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分﹕8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、 学习的主要 内容——用样本的频率分布估计总体分布(板出课题) 。

【探究新知】 】 〖探究〗 :P65 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了 节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水 量标准 a,用水量不超过 a 的部分按平价收费,超出 a 的部分按议价收费。如果希 望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢 ?你认为, 为了了较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情 况,比如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等。

因此采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。

(如课本 P66) 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据 的排列方式,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传 递信息。表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式。

下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所 占比例大小的角度,来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本 数据的频率分布情况。

〈一〉频率分布的概念:

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。

一般用频率 分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为:

(1) 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 (2) 决定组距与组数 (3) 将数据分组 (4) 列频率分布表 (5) 画频率分布直方图 以课本 P66 制定居民用水标准问题为例, 经过以上几个步骤画出频率分布 直方图。

(让学生自己动手作图) 频率分布直方图的特征:

(1) 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。

(2) 从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图 后,原有的具体数据信息就被抹掉了。

〖探究〗 :同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状 也会不同。不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总 体的判断, 分别以 0.1 和 1 为组距重新作图, 然后谈谈你对图的印象? (把 学生分成两大组进行,分别作出两种组距的图,然后组织同学们对所作图 不同的看法进行交流……) 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 接下来请同学们思考下面这个问题:

〖思考〗 :如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量不超出标准,根据频率 分布表 2-2 和频率分布直方图 2.2-1, (见课本 P67)你能对制定月用水量 标准提出建议吗?(让学生仔细观察表和图) 〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义:

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。

2.总体密度曲线的定义:

在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲 线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个 范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息。

(见课本 P60) 〖思考〗 :

1.对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么? 2. 对于任何一个总体, 它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上,尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的,但一般很难想函数图 象那样准确地画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说, 样本容量越大,这种估计就越精确. 〈三〉茎叶图 1.茎叶图的概念:

当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边 部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。

(见课本 P70 ) 1 2.茎叶图的特征:

(1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加,方便记录与表示。

(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数 据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清 晰。

【例题精析】 】 〖例 1〗 :下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位c m) 区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 分组 频数 频率 人数 5 8 10 22 33 20 [122,126) 5 0.04 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) [126,130) 8 0.07 人数 11 6 5 [130,134) 10 0.08 (1)列出样本频率分布表﹔ [134,138) 22 0.18 (2)一画出频率分布直方图;

[138,142) 33 0.28 (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分 [142,146) 20 0.17 比.。

11 0.09 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一 [146,150) [150,154) 6 0.05 般步骤解题。

[154,158) 5 0.04 解:

(1)样本频率分布表如下:

合计 120 1 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (2)其频率分布直方图如下:

频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o 122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高(cm) ( 3 ) 由 样 本 频 率 分 布 表 可 知 身 高 小 于 134cm 的 男 孩 出 现 的 频 率 为 0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 〖例 2〗为了了解高一学生的 :

频率/组距 体能情况,某校抽取部分学生进 行一分钟跳绳次数次测试, 将所 0.036 得数据整理后, 画出频率分布直 0.032 方图(如图), 图中从左到右各小 长方形面积之比为 2:

17:

4:

15:

0.028 0.024 9:3,第二小组频数为 12. (1)第二小组的频率是多少?样 0.020 本容量是多少? 0.016 (2)若次数在 110 以上(含 110 0.012 次)为达标,试估计该学校 全体高一学生的达标率是多 0.008 0.004 少? (3)在这次测试中,学生跳绳次 o 90 100 110 120 130 140 150 次数 数的中位数落在哪个小组 内?请说明理由。

分析:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高 与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。

解:

(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 4 = 0.08 因此第二小组的频率为:

2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3 又因为频率= 第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 = = 150 第二小组频率 0.08 所以 样本容量 = 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为 17 + 15 + 9 + 3 × 100% = 88% 2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3 (3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之 和为 69,前四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。

【课堂精练】 】 P71 练习 1. 3 (AB 层)2. 【课堂小结】 】 1、总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们 往往用样本的频率分布去估计总体的分布。

2、总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分 布;当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体 的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图。

课 后 学 习 教 学 反 思 第 课题 P81 习题 2.2 A 组 1、 (AB 层)2 学生容易把频率分布直方图与初中所学的频数分布直方图混淆,注意强调两 者的区别,强调频率分布直方图中小矩形的面积才表示相应的频率。 二 单元 第 5 课 年 月 日 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(二) 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (1)通过实例体会分布的意义和作用。

(2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分 布直方图、频率折线图和茎叶图。

(3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各 自特征。

(AB 层)恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地 做出总体估计。

通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法,理 解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需 要,认识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识 与现实世界的联系。

会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 教 学 内 容 分 析 教 学 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 流 程 与 能通过样本的频率分布估计总体的分布。 教 学 内 容 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 【创设情境】 】 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如 下﹕ 甲运动员得分﹕12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分﹕8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、 学习的主要 内容——用样本的频率分布估计总体分布(板出课题) 。

【探究新知】 】 〖探究〗 55 :P 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了 节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水 量标准 a,用水量不超过 a 的部分按平价收费,超出 a 的部分按议价收费。如果希 望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢 ?你认为, 为了了较为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情 况,比如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等。

因此采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。

(如课本 P56) 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据 的排列方式,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传 递信息。表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式。

下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所 占比例大小的角度,来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本 数据的频率分布情况。

〈一〉频率分布的概念:

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直 方图反映样本的频率分布。其一般步骤为:

1、 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 、 2、 决定组距与组数 、 3、 将数据分组 、 4、列频率分布表 5、画频率分布直方图 以课本 P56 制定居民用水标准问题为例, 经过以上几个步骤画出频率分布直方图。

(让学生自己动手作图) 频率分布直方图的特征:

1、从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。

2、从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具 体数据信息就被抹掉了。

〖探究〗 :同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状 也会不同。不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断, 分别以 0.1 和 1 为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象?(把学生分成两大组进 行,分别作出两种组距的图,然后组织同学们对所作图不同的看法进行交流……) 接下来请同学们思考下面这个问题: 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 〖思考〗 :如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量不超出标准,根据频率 分布表 2-2 和频率分布直方图 2.2-1, (见课本 P57)你能对制定月用水量标准提出建 议吗?(让学生仔细观察表和图) 〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义:

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。

2.总体密度曲线的定义:

在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统 计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的 百分比,它能给我们提供更加精细的信息。

(见课本 P60) 〖思考〗 :

1.对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么? 2.对于任何一个总体,它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上,尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的,但一般很难想函数图象那样 准确地画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大, 这种估计就越精确. 〈三〉茎叶图 1.茎叶图的概念:

当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边 的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物 茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。

(见课本 P61例子) 2.茎叶图的特征:

(1) 用茎叶图表示数据有两个优点:

一是从统计图上没有原始数据信息的损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到; 二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加, 方便记录与表示。

(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数 据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。

【例题精析】 】 〖例 1〗 :下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位c m) 区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5 分组 频数 频率 (1)列出样本频率分布表﹔ [122,126) 5 0.04 (2)一画出频率分布直方图;

8 0.07 (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分 [126,130) [130,134) 10 0.08 比.。

22 0.18 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一 [134,138) [138,142) 33 0.28 般步骤解题。

[142,146) 20 0.17 解:

(1)样本频率分布表如下:

[146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158) 5 0.04 合计 120 1 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (2)其频率分布直方图如下:

频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o 122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高(cm) ( 3 ) 由 样 本 频 率 分 布 表 可 知 身 高 小 于 134cm 的 男 孩 出 现 的 频 率 为 0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 〖例 2〗为了了解高一学生的 :

频率/组距 体能情况,某校抽取部分学生进 行一分钟跳绳次数次测试, 将所 0.036 得数据整理后, 画出频率分布直 0.032 方图(如图), 图中从左到右各小 长方形面积之比为 2:

17:

4:

15:

0.028 0.024 9:3,第二小组频数为 12. (4)第二小组的频率是多少?样 0.020 本容量是多少? 0.016 (5)若次数在 110 以上(含 110 0.012 次)为达标,试估计该学校 全体高一学生的达标率是多 0.008 0.004 少? (6)在这次测试中,学生跳绳次 o 90 100 110 120 130 140 150 次数 数的中位数落在哪个小组 内?请说明理由。

分析:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高 与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。

解:

(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 4 = 0.08 因此第二小组的频率为:

2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3 又因为频率= 第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 = = 150 第二小组频率 0.08 所以 样本容量 = 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为 17 + 15 + 9 + 3 × 100% = 88% 2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3 (3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之 和为 69,前四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。

【课堂精练】 】 P71 练习 1. 3 (AB 层)2. 【课堂小结】 】 1、总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们 往往用样本的频率分布去估计总体的分布。

2、总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分 布;当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体 的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图。

课 后 学 习 教 学 反 思 第 课题 三 维 教 学 目 标 P81 习题 2.2 A 组 1、 (AB 层)2 强调茎叶图的画法,以及会从茎叶图中获取信息。 二 单元 第 6 课 年 月 日 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(一) 知识与 能力 (1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的 标准差。

(2)能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提 取基本的数字特征(如平均数、标准差) ,并做出合理的解释。

(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

(AB 层)(4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想, 理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实 际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界 的联系。

用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 教 学 内 容 分 析 教 学 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 流 程 与 能应用相关知识解决简单的实际问题。 教 学 内 容 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 【创设情境】 】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更好 地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本 的数字特征估计总体的数字特征(板出课题) 。

【探究新知】 】 (一) 、众数、中位数、平均数 〖探究〗 :P71 (1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些 统计知识,思考后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都 能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查 100 位居民的月均用 水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的矩形的中点) (图略见课本第 72 页)它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多, 但它并没有告诉我们到底多多少。

〖提问〗 :请大家翻回到课本第 66 页看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数 值呢?根据众数的定义,2.25 怎么会是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析:这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因,而 2.25 是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。

〖提问〗 :那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析:在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等 于中位数。因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中 位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为 2.02。

(图 略见课本 63 页图 2.2-6) 〖思考〗 :2.02 这个中位数的估计值,与样本的中位数值 2.0 不一样,你能解释 其中的原因吗? (原因同上:

样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了) (课本 63 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但 是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常 合理的。

〖思考〗 :中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是 它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) (二) 、标准差、方差 1.标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,可是,有时平均数也会使我们作出对 总体的片面判断。某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176㎝,给我 们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高。但是,假如这个平均数是从五十 万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代 表该地区所有中学生的身体素质。因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态。

例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选 哪位选手去参加正式比赛? 我们知道, x甲 = 7, x乙 = 7 。 两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察 P66图2.2-8)直观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成 绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据。

考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据 到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示。

样本数据 x1, x2, L , xn 的标准差的算法:

(1)、算出样本数据的平均数 x 。

(2)、算出每个样本数据与样本数据平均数的差:

xi ? x ( i = 1, 2, L n ) (3)、算出(2)中 xi ? x(i = 1, 2,L n) 的平方。

(4)、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。

(5)、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。

其计算公式为: s= 1 [( x1 ? x ) 2 + ( x 2 ? x ) 2 + L + ( x n ? x ) 2 ] n 显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。

〖提问〗 :标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出:

s ≥ 0 。当 s = 0 时,意味着所有的样本 数据都等于样本平均数。

2.方差 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为 测量样本数据分散程度的工具: 2 s 2 = 1 [( x1 ? x ) 2 + ( x 2 ? x ) 2 + L + ( x n ? x ) 2 ] n 在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时, 一般多采用标准差。

【例题精析】 】 〖例 1〗 :画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点。

(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5 (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7 (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计 算公式即可算出每一组数据的标准差。

解:

(图略,可查阅课本P68) 四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0.00,0.82,1.49,2. 83。

他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的。

〖例 2〗(见课本P69) :

分析:

比较两个人的生产质量, 只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总 体的平均数与标准差的大小即可,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分 别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两个 总体之间的差异的估计值。

【课堂精练】 】 P7971 练习 1. 2. 3 (AB 层)4 【课堂小结】 】 1、 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:

(1) 用样本平均数估计总体平均数。

(2)用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。

2、 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。

、 3、 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。

课 P8172 习题 2.2 A 组 4,6, 后 (AB 层)7 学 习 教 本课重点应放在平均数与标准差,其他概念了解即可。教学中宜采取对比教 学 学,如众数、中位数、平均数;标准差与方差之间的区别与联系。

反 思 第 课题 二 单元 第 7 课 年 月 日 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二) 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的 标准差。

(2)能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提 取基本的数字特征(如平均数、标准差) ,并做出合理的解释。

(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

(AB 层) (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想, 理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。

会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实 际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界 的联系。

用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 教 学 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 内 容 教学 能应用相关知识解决简单的实际问题。

分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 【创设情境】 】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据, 你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更 好地把握总体的规律, 我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。

— —用样本的数字特征估计总体的数字特征(板出课题) 。

【探究新知】 】 (一) 、众数、中位数、平均数 〖探究〗 :P71 (1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2) 能否用一个数值来描写样本数据的离散程度? (让学生回忆初中所学的一些 统计知识,思考后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都 能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查 100 位居民的月均用 水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的矩形的中点) (图略见课本第 72 页)它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多, 但它并没有告诉我们到底多多少。

〖提问〗 :请大家翻回到课本第 66 页看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数 值呢?根据众数的定义,2.25 怎么会是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析:这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因,而 2.25 是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。

〖提问〗 :那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析:在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等 于中位数。因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中 位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为 2.02。

(图 略见课本 73 页图 2.2-6) 〖思考〗 :2.02 这个中位数的估计值,与样本的中位数值 2.0 不一样,你能解释 其中的原因吗? (原因同上:

样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了) (课本 73 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但 是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常 合理的。

〖思考〗 :中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是 它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) (二) 、标准差、方差 1.标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,可是,有时平均数也会使我们作出对 总体的片面判断。某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176㎝,给我 们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高。但是,假如这个平均数是从五十 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代 表该地区所有中学生的身体素质。因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态。

例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选 哪位选手去参加正式比赛? 我们知道, x甲 = 7, x乙 = 7 。 两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察 P75 图2.2-8)直观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩 相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据。

考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据 到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示。

样本数据 x1, x2, L , xn 的标准差的算法:

(1)算出样本数据的平均数 x 。

(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差:

xi ? x ( i = 1, 2, L n ) (3)算出(2)中 xi ? x(i = 1, 2,L n) 的平方。

(4)算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。

(5)算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。

其计算公式为: s= 1 [( x1 ? x ) 2 + ( x 2 ? x ) 2 + L + ( x n ? x ) 2 ] n 显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。

〖提问〗 :标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出:

s ≥ 0 。当 s = 0 时,意味着所有的样本 数据都等于样本平均数。

2.方差 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为 测量样本数据分散程度的工具: 2 s 2 = 1 [( x1 ? x ) 2 + ( x 2 ? x ) 2 + L + ( x n ? x ) 2 ] n 在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时, 一般多采用标准差。

【例题精析】 】 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 〖例 1〗 :画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点。

(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5 (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7 (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计 算公式即可算出每一组数据的标准差。

〖例 2〗(见课本P77) :

分析:

比较两个人的生产质量, 只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总 体的平均数与标准差的大小即可,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分 别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两个 总体之间的差异的估计值。

【课堂精练】P7971 练习 1. 2. 3 】 【课堂小结】1、用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:

】 (1) 用样本平均数估计总体平均数。

(2)用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。

2、平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。

3、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。

课 P8172 习题 2.2 A 组 4,6, 后 (AB 层)7 学 习 教 学 求众数、中位数和平均数学生在初中已经学过,但在频率分布直方图中估计 反 这三个特征数是个难点,应多举例讲清楚。

思 第 课题 三 维 教 学 目 标 三 单元 第 1 课 年 月 日 3.1.1 随机事件的概率 知识与 能力 (C 层)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念;正确 理解事件 A 出现的频率的意义。

(AB 层) 理解并掌握随机事件、 必然事件、 不可能事件的概念; 正确理解事件 A 出现的频数与频率的意义,能区分频率与概率 的概念。

发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳 总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中 提高; 通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知 识与现实世界的联系; 事件的分类; 用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 教 学 内 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 容 难点 分 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你明 天什么时间起床?7:20 在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是 否能中奖?等等。

二、新课:

(一)基本概念:阅读课本 P108,思考:

1、什么是必然事件?什么是不可能事件?什么是确定事件?什么是随机事件? 2、你能分别举出现实中的生活加以说明吗? 3、什么是概率?如何才能获得随机事件发生的概率? (二)探究活动:

(抛硬币试验) 1、全班每人各取一枚同样的硬币,做 10 次掷硬币的试验,每人记录下试验结果, 填在下表中。

姓名 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例 思考:与其他同学的试验结果比较,你的结果和他们一致吗?为什么会出现这样的 情况? 2、每个小组把本组同学的试验结果统计一下,填在下表中。

组次 试验总次数 正面朝上的总次数 正面朝上的比例 思考:

与其他小组的试验结果比较, 各组的结果一致吗?为什么会出现这样的情况? 3、让一个同学把全班同学的试验结果统计一下,填在下表中。

班级 试验总次数 正面朝上的总次数 正面朝上的比例 4、请把全班每个的试验中正面朝上的次数收集起来,并用条形图表示。

观察:条形图有何特点? (三)阅读课本 P110,思考:

1、什么是频数和频率?两个概念有何区别? 2、频率的范围是什么? 3、人工抛硬币太费时,有无更佳方法呢? (四)计算机模拟硬币试验 请同学们观察 P111 表 3-1 及掷硬币的频率图,能发现什么规律? (五)历史上一些掷硬币的试验结果 请同学们观察 P112 表 3-2,能发现什么规律? (六)思考:事件 A 发生的频率 fn(A)是不是不变的?事件 A 的概率 P(A)是不是 不变的?它们之间有什么区别与联系? 三、例题分析:

例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:

射击次数 n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455 m 击中靶心的频率 n (1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生 的频率 fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。

小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而 得之。

四、巩固练习:P113 练习 1,2, (AB 层)3 四、 课堂小结:概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概 率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形 成概率意识,并用这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和 探索。

课 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( ) 后 A.必然事件 B.随机事件 学 C.不可能事件 D.无法确定 习 2.下列说法正确的是( ) A.任一事件的概率总在(0.1)内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 3、一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下:

时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 新生婴儿数 5544 9607 13520 男婴数 2883 4970 6994 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约是多少? P124 B 组 3 (AB 层) 教 本课中概念多,可分成两类,便于学生理解记忆:一、必然事件、不可能事 学 件、随机事件;二、频数、频率、概率。

反 思 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 第 课题 三 单元 第 2 课 年 月 日 3.1.2 概率的意义 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与 事件 A 发生的概率 P(A)的区别与联系; (AB 层)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 通过对现实生活中的“掷币”“游戏的公平性”、 , ,“彩票中奖” 等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻 辑推理的数学方法. 培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识. 教 概率的定义以及和频率的区别与联系 学 内 容 教学 用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、复习引入 (一)什么是必然事件?什么是不可能事件?什么是确定事件?什么是随机事件? (二)什么是频数和频率?两个概念有何区别?频率的范围是什么? (三)什么是概率?它与频率有何区别? 二、新课:

(一)概率的正确理解 1、思考:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5,那么连续两次抛掷一 枚质地均匀的硬币, 一定是一次正面朝上, 一次反面朝上。

你认为这种想法正确吗? 2、探究:

全班同学各取一枚同样的硬币,连续两次抛掷,观察它落地后朝向,并记录结果。

重复上面的过程 10 次,将全班同学的试验结果汇总,计算三种结果发生的频率。你 有什么发现? 3、思考:如果某种彩票的中奖概率为 1/1000,那么买 1000 张这种彩票一定能中奖 吗?(假设彩票有足够多的张数? (二)游戏的公平性 1、 在一场乒乓球比赛前, 要决定由谁先发球, 你注意到裁判是怎样确定发球权的吗? 为什么要这样做? 2、探究:青云中学高一年级有 10 个班,要从中选 2 个班代表学校参加某项活动。

由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十班中选 1 个班。有人提议用如下方 法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为此方法公平吗? (三)决策中的概率思想 1、思考:如果连续 10 次掷一枚骰子,结果都是出现 1 点,你认为这枚骰子的质地 均匀吗?为什么? 2、似然法与极大似然法:见课本 P116 (四)天气预报的概率解释 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 1、思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率为 70%。你认为下面两个解释哪一 个能代表气象局的观点? (1)明天本地有 70%的区域下雨,有 30%的区域不下雨; (2)明天本地下雨的机会 是 70%。

2、生活中,我们经常听到这样的议论:

“天气预报说昨天降水概率为 90%,结果一点 雨没下,天气预报也太不准确了。

”学也概率后,你能给出解释吗? (五)试验与发现 阅读 P117 了解孟德尔如何经过多年碗豆试验,最终发现遗传学规律。你能作出简单 的解释吗? 三、例题:

例 1 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次中 8 环,有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶 的概率约为多大?中 10 环的概率约为多大? 例 2 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识 解释其公平性。

小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。

四、 课堂小结:

正确理解频率与概率的区别,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 1.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答 课 题。

后 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 学 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 2715 习 发芽的频率 (1)完成上面表格:

(2)该油菜子发芽的概率约是多少? (AB 层)P118 2,3 正确理解概率的意义,特别是结合实例理解小概率事件不一定不发生,大概 率事件不一定必发生。 教 学 反 思 第 课题 三 单元 第 3 课 年 月 日 3.1.3 概率的基本性质 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及 互斥事件、对立事件的概念; (2)概率的几个基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件 概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加 法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件, 所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1, 于是有 P(A)=1 —P(B) (AB 层)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件 的区别与联系. 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 教 概率的加法公式及其应用, 学 内 容 教学 事件的关系与运算。

分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 创设情境:

(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С{2,3,4, 1、 创设情境:

5}等; C C (2) 在掷骰子试验中, 可以定义许多事件如:

1={出现 1 点}, 2={出现 2 点}, 3={出 C 现 1 点或 2 点},C4={出现的点数为偶数}…… 师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与 运算吗? 2、 基本概念:

基本概念:

(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事 件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1 —P(B). 例题分析:

3、 例题分析:

例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环. 分析:

分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互 斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两 个事件中一个不发生,另一个必发生。

例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为“出现奇数点” 为“出现偶数点” ,B , 1 1 已知 P(A)= ,P(B)= ,求出“出现奇数点或偶数点” . 2 2 分析:

分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概 率的加法公式求解. 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A) 1 1 的概率是 ,取到方块(事件 B)的概率是 ,问:

4 4 (1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 分析:

分析:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥事件的概率和 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养 学生的类化与归纳的数学思想。

通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学知识 应用于现实世界的具体情境,从而激发学习 数学的情趣。 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 公式求解,事件 C 与事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1—P(C). 例 4 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红 1 5 5 球的概率为 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求 3 12 12 得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少? 分析:

分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解. 巩固练习:

P123 习题 3.1 A 组 1 4、巩固练习:P121 练习 1,4,5 某射手在一次射击训练中, 射中 10 环、 环、 环的概率分别为 0.21, 8 7 0.23, (AB 层) 0.25,0.28,计算该射手在一次射击中:

(1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。

课堂小结:

5、课堂小结:概率的基本性质:

(1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; (2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); (3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 P(A)=1—P(B); (4)互斥事件与对立事件的区别与联系:对立事件互斥事件的特殊情形。

1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数 课 与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是 后 不是对立事件。

学 (1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; 习 (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; 2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 1 1 2 点,已知 P(A)= ,P(B)= ,求出现奇数点或 2 点的概率之和。

2 6 (AB 层)P124 B 组 1,2 教 本课中概念多,学生易混淆。可多举生活上的实例,结合韦恩图,重点突 学 出对立事件互斥事件的概念的理解、概率公式及其关系。

反 思 第 课题 三 单元 第 4 课 年 月 日 3.2.1 古典概型(一) 三 维 教 学 目 标 教 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 1、正确理解古典概型的特点; 2、掌握古典概型的概率计算公式:

(AB 层)能灵活运用古典概型的概率计算公式。

通过对现实生活中具体的概率问题的探究, 感知应用数学解决问 题的方法, 体会数学知识与现实世界的联系, 培养逻辑推理能力; 通过数学与探究活动, 体会理论来源于实践并应用于实践的辩证 唯物主义观点. 正确理解掌握古典概型及其概率公式 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 学 重点 内 容 教学 正确理解掌握古典概型及其概率公式 分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 创设情境:

一、创设情境:

(一)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝上” ,它们 都是随机事件。

(二)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,…,10,从中任取一 球,只有 10 种不同的结果,即标号为 1,2,3…,10。

师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 二、新课 基本概念:

(一)基本概念:阅读课本 P125~126,思考:

1、什么叫做基本事件?上述事件有何共同特点? 2、什么是古典概率模型(简称_________)? 3、在古典概型下,基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率如何计算? 小结:古典概型的概率计算公式:P(A)= A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数 (二)例题分析:

例题分析:

例 1、从字母 a,b,c,d 任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件? 例 2、单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A,B,C,D 四个选项中选择一个 正确答案。如果考生掌握也考查的内容,他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会 做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少? 探究:在标准化考试中既有单选题又有多选题,多选题是从 A,B,C,D 四个选项中选 择所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案。多选题更难猜对, 为什么? 例 3、同时掷两个骰子,计算:

(1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之是 5 的概率是多少? 思考:为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记会出现什么情况?你能解释其中的 原因吗? 例 4 假设储蓄卡密码由 4 个数字组成,每个数字可以是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数 字的任意一个。假设一个人完全忘记也自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机 试一次密码就能取到钱的概率是多少? 思考:人们为方便记忆,通常用自己的生日作为储蓄卡密码。但当钱包里既有身份证 又有储蓄卡时,是很不安全的,为什么? 例 5 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员人中随机抽出 2 听, 检测出不合格产品的概率有多大? 探究:随着检测听数的增加,查出不合格产品的概率怎样变化?为什么质检人员一般 都采用抽查而不采用逐个检查的方法? 巩固练习:

三、巩固练习:P130 练习 1,2,3 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (AB 层)抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 5 的概率。

课堂小结:

四、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点:

1、古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

2、古典概型的解题步骤; (1)求出总的基本事件数; (2)求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= 课 后 学 习 教 学 反 思 第 课题 三 A包含的基本事件数 总的基本事件个数 P133 习题 3.2 A 组 1,2,3 (AB 层)抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率。 要向学生透彻地讲清楚为何要作标记,如何不标记会产生什么情况。 单元 第 5 课 年 月 日 3.2.1 古典概型(二) 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 1、正确理解古典概型的特点; 2、掌握古典概型的概率计算公式:

(AB 层)能灵活运用古典概型的概率计算公式。

通过对现实生活中具体的概率问题的探究, 感知应用数学解决问 题的方法, 体会数学知识与现实世界的联系, 培养逻辑推理能力; 通过数学与探究活动, 体会理论来源于实践并应用于实践的辩证 唯物主义观点. 教 正确理解掌握古典概型及其概率公式 学 内 返回抽样与不返回抽样的区别 容 分 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、 复习:

(一)古典概型的特点:1、_____________;2、_______________. (二)古典概型的概率计算公式:P(A)=___________________. 二、 典例分析:

例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。

分析:

分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。

小结:

小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点:

(1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后 不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品:

(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析:

(1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 分析:

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序 解:

解法 记录(x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结 果为 10×9×8=720 种.设事件 B 为“3 件都是正品” ,则事件 B 包含的基本事件总数 336 为 8×7×6=336, 所以 P(B)= 720 解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z)(x,z,y)(y,x,z)(y,z,x) , , , , (z,x,y)(z,y,x) , ,是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的 56 ≈0.467. 方法,事件 B 包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)= 120 小结:

小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作 是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则 会导致错误. 三、 巩固练习:

在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有一个红球的概率是 。

(AB 层)P134 习题 3.2 A 组 6 课 P134 习题 3.2 A 组 4,5 (AB 层)B 组 1 后 学 习 教 要时时强调抽样是放回还是不放回的。

学 反 思 第 课题 三 单元 第 6 课 年 月 日 ≈0.467. 3.2.2(整数值)随机数的产生 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 (ABC 层)1、了解随机数的概念; (AB 层)2、利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频 率。

通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、 动脑的良好习惯。

通过数学与探究活动, 体会理论来源于实践并应用于实践的辩证 唯物主义观点. 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 教 正确理解随机数的概念,并能应用计算机产生随机数. 学 内 正确理解随机数的概念,并能应用计算机产生随机数. 容 分 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情景:在第一节中,同学们做了大量重复试验。有的同学可能沉觉得这样做 试验花时太多,有没有其他方法可以代替试验 二、新课 (一) 、基本概念:阅读课本 P130,思考:

什么是随机数、伪随机数? (二)例题分析 例 1 利用计算器产生 10 个 1~100 之间的取整数值的随机数。

解:具体操作如下:键入 RAND RANDI PRB STAT DEC 价值观 教学 重点 教学 难点 ENTER RANDI(1,100) STAT DEG ENTER RAND (1,100) 3. STAT DEC 反复操作 10 次即可得之 小结:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中,有着广泛的应 用。

例 2 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三 次投篮中,恰有两次投中的概率是多少? 分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用 :

古典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概 率为 40%。

解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之间的取整数值的随机数。

我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投 中的概率是 40%。因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组。

例如:产生 20 组随机数:

812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则 表示恰有两次投中,它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 5 =25%。

20 小结:

(1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解 问题。

(2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利 用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。

(3)随机函数 RANDBETWEEN(a,b)产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数。

例 3 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来。 到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为 解:

(1)每次按 SHIFT RNA# 键都会产生一个 0~1 之间的随机数,而且出现 0~1 内 任何一个数的可能性是相同的。

(2) 还可以使用计算机软件来产生随机数, Scilab 中产生随机数的方法。

如 Scilab 中用 rand()函数来产生 0~1 之间的随机数,每周用一次 rand()函数,就产生一 个随机数,如果要产生 a~b 之间的随机数,可以使用变换 rand()*(b-a)+a 得到. (3)随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代 替我们自己做大量重复试验,比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把 考生分配到各个考场中。

三、巩固练习:

1.利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数。

(AB 层)2.用 0 表示反面朝上,1 表正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验。

三、巩固练习:P133 练习 1,2, (AB 层)3 四、课堂小结:

(一)正确理解随机数的概念; (二)能应用计算机产生随机数。

课 (ABC 层)P133 练习 4 后 (AB 层)P134 习题 3.2 B 组 3 学 习 教 条件限制,这部分内容可以简略 学 反 思 第 课题 三 单元 第 7 课 年 月 日 3.3.1 几何概型 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (1)正确理解几何概型的概念,会判别某种概型是古典概型还是 几何概型; (2) (AB 层)掌握几何概型的概率公式; 层)理解几何概型的 (C 概率公式 (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学 会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系, 培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题 的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。

本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 过程与 方法 情感、 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 教 学 内 容 分 析 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 惯。

几何概型的概念、公式及应用; 1、几何概型的概念、公式及应用; 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用 中. 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等 可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个 人到单位的时间可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个 石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

二、新课:

(一)基本概念:阅读 136 第一到第六行:思考:

1、什么是几何概率模型? 2、几何概型的特点是什么? 3、几何概型的概率如何计算? 小结:公式:P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体积) 。

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) (二)例题分析:

例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型,还是几何概型。

(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P135 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏, 规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。

分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。

而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。

例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等 车时间不多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过 几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟 之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与 该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并 且是等可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. (三)巩固练习:

1. 已知地铁列车每 10min 一班, 在车站停 1min, 求乘客到达站台立即乘上车的概率。

2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大 于 2m 的概率. 3.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则 发现草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! (AB 层)4.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷 在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率. (四) 、课堂小结:几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计 算公式时,一定要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比 例。 课 后 学 习 教 学 反 思 第 课题 P142 A 组 1,2,3 (AB 层)B 组 几何概型的教学可采取对比教学,让学生弄清它与古典概型的区别与联系。 三 单元 第 8 课 年 月 日 3.3.2 均匀随机数的产生 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 (1)了解均匀随机数的概念; (AB 层) (2)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方 法; (3)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成, 学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联 系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决 问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。

本节课的主要特点是随机试验多, 学习时养成勤学严谨的学习习 惯。

利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用 中. 过程与 方法 教 学 内 容 分 析 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用 中. 教 学 流 程 与 教 学 内 容 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 一、复习引入:

(一) 、什么是几何概型?几何概型的特点是什么? (二) 、几何概型的概率如何计算? 1、 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任 意一点钻探,钻到油层面的概率是___________;

2、 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则 取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是___________. (三)什么是均匀分布?什么是均匀随机数? 二、新课:

(一)阅读课本 P137,思考 1、我们常用的均匀随机数是在什么范围的?利用计算器产生均匀随机数的方法是怎 样的? 2、为什么可用上述方法产生的均匀随机数随机模拟? 3、如果试验的结果是区间[a,b]上任何一点,而且是等可能的,如何产生[a,b]之间 的随机数? (二)例题分析:

例 1、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到你家, 你父亲离开家去工作的时间在早上 7:30~8:30 之间,问你父亲在离开家前能得到报 纸(称为事件 A)的概率的多少? 分析:我们可用两种方法计算该事件的概率:

1、利用几何概型的公式;2、用随机模拟的方法。

例 2、在图 3.3-3 的正方形中随机撒一把豆子,用随机模拟的方法估计圆周率的值。

分析:我们可用两种方法计算该事件的概率:

1、利用几何概型的公式;2、用随机模拟的方法。

例 3、 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小 于 1m 的概率有多大? 分析:

分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数, 并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本 事件)对应[0,3]上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置 与端点距离在[1,2]内,也就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1,2]内的随 机数个数与[0,3]内个数之比就是事件 A 发生的概率。

(1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. 解法 1:

(2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)= N1 即为概率 P(A)的近似值. N 做一个带有指针的圆盘, 把圆周三等分, 标上刻度[0,(这里 3 和 0 重合)转 3] . 解法 2:

动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总 次数 N,则 fn(A)= N1 即为概率 P(A)的近似值. N 小结:

小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化 为随机数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时 数学备课大师 今日用大师 明日做大师! 数学备课大师 目录式免费主题备课平台! 费力,试验次数不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数, 又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果 的随机性和规律性有更深刻的认识. (三)课堂练习:

P140 练习 1,2 (AB 层)3、 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求 2 2 这个正方形的面积介于 36cm 与 81cm 之间的概率. (四)课堂小结:均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器 或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率 模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数 )有关,然后设计适当的试验, 并通过这个试验的结果来确定这些量. 课 1. 某班有 45 个, 现要选出 1 人去检查其他班的卫生, 后 若每个人被选到的机会均等, 则恰好选中学生甲主机 学 会有多大? 习 (AB层)2.曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一个区 域 A,直线 x=1、直线 y=1、x 轴围成一个正方形,向 正方形中随机地撒一把芝麻, 利用计算机来模拟这个 试验, 并统计出落在区域 A 内的芝麻数与落在正方形 中的芝麻数。

1.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独 立完成。

(1)用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人; (2)用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录; (3)整理数据并填入下表 5 100 1 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 0 5 0 M 2a r o 教 学 反 思 (4) 、利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。

条件限制,均匀随机数的产生部分可以简略。 数学备课大师 今日用大师 明日做大师!

第一篇:高中数学必修三教案

教学资料 教育精品资料 按住 Ctrl 键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 教学资料 按住 Ctrl 键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章 算法初步??????????????1 1.1 算法与程序框图???????????????2 1.1 算法与程序框图(共 3 课时) 1.1.1 算法的概念(第 1 课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问 题) ,体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分, 也是计算机科学的重要基础. 在现代社会 里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打 字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎 样工作的呢?要想弄清楚这个问题, 算法的学习是一个开始. 同时, 算法有利于发展有条 理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了 大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系 列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例 1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例 2:给出求 1+2+3+4+5 的一个算法. 解:

算法 1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算 1+2,得到 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 教学资料 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; 第四步:将第三步中的运算结果 10 与 5 相加,得到 15. 算法 2 可以运用公式 1+2+3+?+ n = n(n ? 1) 直接计算 2 第一步:取 n =5; 第二步:计算 n(n ? 1) ; 2 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例 3:

(课本第 2 页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性) 例 4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:

第一步:根据题意,选择标准方程或一般方程; 第二步:根据条件列出关于 a , b , r 或 D , E , F 的方程组; 第三步:解出 a , b , r 或 D , E , F ,代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析,我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时,需要 设计出一系列可操作或可计算的步骤,通过实施这些步骤来解决问题,通常把这些 步骤称为解决这些问题的算法 在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程 序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 四、知识应用 例 5:

(课本第 3 页例 1) (难点是由质数的定义判断一个大于 1 的正整数 n 是否为质数的 基本方法) 练习 1:

(课本第 4 页练习 2)任意给定一个大于 1 的正整数 n ,设计一个算法求出 n 的 所有因数. 解:根据因数的定义,可设计出下面的一个算法:

第一步:输入大于 1 的正整数 n . 第二步:判断 n 是否等于 2,若 n ? 2 ,则 n 的因数为 1, n ;若 n ? 2 ,则执行第 三步. 第三步:依次从 2 到 n ? 1 检验是不是整除 n ,若整除 n ,则是 n 的因数;若不整除 n ,则不是 n 的因数. 教学资料 例 6:

(课本第 4 页例 2) 练习 2:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法. 解:算法 1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算 1+2,得到 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; ?? 第九十九步:将第九十八步中的运算结果 4950 与 100 相加,得到 5050. 算法 2 可以运用公式 1+2+3+?+ n = 第一步:取 n =100; 第二步:计算 n(n ? 1) 直接计算 2 第三步:输出运算结果. 圆的面积. n(n ? 1) ; 2 练习 3:

(课本第 5 页练习 1)任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的 解:第一步:输入任意正实数 r ; 第二步:计算 S ? ?r ; 2 第三步:输出圆的面积 S . 五、课堂小结 1. 算法的特性: ①有穷性:一个算法的步骤序列是有限的,它应在有限步操作之后停止,而不能 是无限的. ②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果, 而不应当是模棱两可. ③可行性:算法中的每一步操作都必须是可执行的,也就是说算法中的每一步都 能通过手工和机器在有限时间内完成. ④输入:一个算法中有零个或多个输入.. ⑤输出:一个算法中有一个或多个输出. 2. 描述算法的一般步骤: ①输入数据.(若数据已知时,应用赋值;若数据为任意未知时,应用输入) ②数据处理. ③输出结果. 六、作业 教学资料 1. 有 A、B、C 三个相同规格的玻璃瓶,A 装着酒精,B 装着醋,C 为空瓶,请设计一个 算法,把 A、B 瓶中的酒精与醋互换. 2. 写出解方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的一个算法. 3. 利用二分法设计一个算法求 3 的近似值(精确度为 0.005). 4. 已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,写出求直线 AB 斜率的一个算法. 5. 已知函数 f (x) ? 1.1.2 程序框图(第 2 课时) x2 ? x ?1 ( x ? 2 ) 设计一个算法求函数的任一函数值 x ?1 ( x ? 2) 【课程标准】通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具 体问题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题) ,理解程序框图的三种基本逻辑结 构:顺序、条件分支、循环. 【教学目标】1.理解程序框图的概念; 2.掌握运用程序框图表达顺序结构和条件结构的算法; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】运用程序框图表达顺序结构和条件结构的算法 【教学难点】规范程序框图的表示以及条件结构算法的框图 【教学过程】 一、回顾练习 1. 已知一个三角形的三边长分别为 2,3,4,利用海伦—秦九韶公式设计一个算法, 求出它的面积. 2. 任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是 否存在. 二、程序框图的有关概念 1. 两道回顾练习的算法用程序框图来表达,引入程序框图概念. 2. 程序框图的概念 程序框图又称流程图,是一种规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算 法的图形. 3. 构成程序框图的图形符号及其作用(课本第 6 页) 4. 规范程序框图的表示:

①使用标准的框图符号. ②框图一般按从上到下、从左到右的方向画,流程线要规范. ③除判断框外,大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点. ④一种判断是“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果; 教学资料 另一种是多分支判断,有几种不同的结果. ⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚. 三、顺序结构 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成. 例 1:

(课本第 9 页例 3) 输出 输入 语句 练习 1:交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值. 解:算法如下:

第一步:输入 A,B 的值. 第二步:把 A 的值赋给 x. 第三步:把 B 的值赋给 A. 第四步:把 x 的值赋给 B. 第五步:输出 A,B 的值. 程序框图: 开始 输入 A,B x=A A=B B=x 输出 A,B 结束 四、条件结构 根据条件判断,决定不同流向. 满足条件? 是 语句 1 否 语句 2 例 2:

(课本第 10 页例 4) 练习 2:有三个整数 a , b , c ,由键盘输入,输出其中最大的数. 解:算法 1 第一步:输入 a , b , c ; 教学资料 第二步:若 a ? b ,且 a ? c ;则输出 a ;否则,执行第三步; 第三步:若 b ? c ,则输出 b ;否则,输出 c . 算法 2 第一步:输入 a , b , c ; 第二步:若 a ? b ,则 t ? a ;否则, t ? b ; 第三步:若 t ? c ,则输出 t ;否则,输出 c . 练习 3:已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,求 f (3) ? f (?5) 的值. 2 设计出解决该问题的一个算法,并画出程序框图. 解:算法如下:

第一步:

x ? 3 ; 第二步:

y1 ? x ? 2 x ? 3 ; 2 第三步:

x ? ?5 ; 第四步:

y 2 ? x ? 2 x ? 3 ; 2 第五步:

y ? y1 ? y 2 ; 第六步:输出 y . 练习 4:设计一个求任意数的绝对值的算法,并画出程序框图. 解:第一步:输入任意实数 x ; 第二步:若 x ? 0 ,则 y ? x ;否则 y ? ?x ; 第三步:输出 y . 练习 5:

(课本第 18 页例 6)设计一个算法,使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序 输出, 并画出程序框图. 练习 6:

五、课堂小结 1. 画程序框图的步骤:首先用自然语言描述解决问题的一个算法,再把自然语言转化为 程序框图; 2. 理解条件结构的逻辑以及框图的规范画法,条件结构主要用在判断、分类或分情况的 问题解决中. 六、作业 5 ? C ,写出一个算法,并 9 画出程序框图,使得输入一个华氏温度 F ,输出其相应的摄氏温度 C . 1. 已知华氏温度 F 与摄氏温度 C 的转换公式是:

( F ? 32 ) ? 2. 如果考生的成绩大于或等于 60 分,则输出“及格” ,否则输出“不及格” ,试写出一个 教学资料 算法,并画出程序框图. 3. 画出 1+2+3+4+5 的一个算法的程序框图. 4. (课本第 20 页习题 1.1A 组第 2 题) 5. 输入一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的系数,输出它的实数根,试写出一个算法,并 画出程序框图. 1.1.2 程序框图(第 3 课时) 【课程标准】通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具 体问题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题) ,理解程序框图的三种基本逻辑结 构:顺序、条件分支、循环. 【教学目标】1.进一步理解程序框图的概念; 2.掌握运用程序框图表达循环结构的算法; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】运用程序框图表达循环结构的算法 【教学难点】循环体的确定,计数变量与累加变量的理解. 【教学过程】 一、回顾练习 引例:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法. 解:算法 1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算 1+2,得到 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; ?? 第九十九步:将第九十八步中的运算结果 4950 与 100 相加,得到 5050. 简化描述:

第一步:sum=0; 进一步简化:

第一步:sum=0,i=1; 教学资料 第二步:sum=sum+1; sum=sum+i; 第三步:sum=sum+2; 第四步:sum=sum+3; ?? 第一百步:sum=sum+99; 第一百零一步:sum=sum+100 第一百零二步:输出 sum. 根据算法画出程序框图,引入循环结构. 第二步:依次 i 从 1 到 100,反复做 第三步:输出 sum. 二、循环结构 循环结构:在一些算法中,也经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某 一处理步骤的情况,这种结构称为循环结构. 循环体 满足条件? 是 是 循环体 满足条件? 否 否 循环体:反复执行的处理步骤称为循环体. 计数变量:在循环结构中,通常都有一个起到循环计数作用的变量,这个变量的取 值一般都含在执行或终止循环体的条件中. 当型循环:在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断,当条件满足时执行循环 体,不满足则停止. 直到循环:在执行了一次循环体之后,对控制循环体进行判断,当条件不满足时执 行循环体,满足则停止. 练习 1:画出引例直到型循环的程序框图. 当型循环与直到循环的区别:①当型循环可以不执行循环体,直到循环至少执行一 次循环体. 教学资料 ②当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断. ③对同一算法来说,当型循 环和直到循环的条件互为反条件. 练习 2:1.1.1 节例 1 的算法步骤的程序框图(如图) 说明:①为了减少难点,省去 flag 标记; ②解释赋值语句“ d ? 2 ”与“ d ? d ? 1 ” ,还有“ d ?? n ? 1 ; ③简单分析. 练习 3:画出 1? 2 ? 3 ? ??100 的程序框图. 小结:画循环结构程序框图前:①确定循环变量和初始条件;②确定算法中反复执行的 部分,即循环体;③确定循环的转向位置;④确定循环的终止条件. 三、条件结构与循环结构的区别与联系 区别:条件结构通过判断分支,只是执行一次;循环结构通过条件判断可以反复执行. 联系:循环结构是通过条件结构来实现. 例 1:课本第 10 页的 ( 《探究》画出用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根 ) (精确度为 0.005) 2 的程序框图,并指出哪些部分构成顺序结构、条件结构和循环结构? 练习 4:设计算法,求使 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2005 成立的最小自然数 n 的值,画出程序 框图. 练习 5:输入 50 个学生的考试成绩,若 60 分及以上的为及格,设计一个统计及格人数的 程序框图. 练习 6:指出下列程序框图的运行结果 五、课堂小结 1. 理解循环结构的逻辑,主要用在反复做某项工作的问题中; 2. 理解当型循环与直到循环的逻辑以及区别:

①当型循环可以不执行循环体,直到循环至少执行一次循环体. ②当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断. ③对同一算法来说,当型循环和直到循环的条件互为反条件. 3. 画循环结构程序框图前:

①确定循环变量和初始条件; ②确定算法中反复执行的部分,即循环体; ③确定循环的转向位置; ④确定循环的终止条件. 4. 条件结构与循环结构的区别与联系:

区别:条件结构通过判断分支,只是执行一次;循环结构通过条件判断可以反复执行. 教学资料 联系:循环结构是通过条件结构来实现. 七、作业 1. 设计一个算法,计算两个非 0 实数的加、减、乘、除运算的结果(要求输入两个非 0 实数,输出运算结果) ,并画出程序框图. 2. 设计一个算法, 判断一个数是偶数还是奇数 (要求输入一个整数, 输出该数的奇偶性) , 并画出程序框图. 3. 设计一个算法,计算函数 f ( x) ? x ? 3x ? 5 当 x ? 1,2,3,?,20 时的函数值,并画出 2 程序框图. 4. (课本第 11 页习题 1.1A 组第 2 题) 5. 如果我国工农业产值每年以 9%的增长率增长, 问几年后我国产值翻一翻, 试用程序框 图描述其算法. 6.(课本第 20 页习题 1.1B 组第 1、2 题) 1.2 基本算法语句(共 3 课时) (有条件在电脑室上) 1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句(第 1 课时) 【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语 句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本 思想 【教学目标】1.理解输入语句、输出语句和赋值语句; 2.能运用输入语句、输出语句和赋值语句表达解决具体问题的过程; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】输入语句、输出语句和赋值语句的表示方法、结构和用法 【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,赋值语句的逻辑关系 【教学过程】 一、回顾知识 顺序结构及其框图 二、输入语句、输出语句和赋值语句 例 1:

(课本第 21 页例 1) 分析:首先画出解决该问题算法的程序框图,并解析 BASIC 语言中的数学运算符号 表示. 如:

2 ? 3 写成 2*3, 5 写成 5^3, 5 ? 3 写成 5/3,5 除以 3 的余数为“5 MOD 3” , 3 5 除以 3 的商为“5\3” 2 写成“SQR(2), x 写成“ABS( x ) , ” ”等等. 1. 输入语句的一般格式 教学资料 INPUT “提示内容” ;变量 说明:①输入语句的作用是实现算法的输入信息功能.②“提示内容”提示用户输入什 么样的信息,用双引号.③提示内容与变量之间用分号“; ”隔开,若输入多个变量,变 量与变量之间用逗号“, ”隔开,如“INPUT “a=,b=,c=”;a,b,c”.④变量是指程序 在运行是其值是可以变化的量,如③中的 a,b,c 都是变量,通俗把一个变量比喻成一 个盒子,盒子内可以存放数据,可随时更新盒子内的数据.⑤如③中当依次输入了 1,2, 3 程序在运行时把输入的值依次赋给 a,b,c,即 a=1,b=2,c=3. 例如,输入一个学生数学、语文、英语三门课的成绩:

INPUT “Maths,Chines,English” ;a,b,c 输入任意整数 n:

INPUT “n=” ;n 2. 输出语句的一般格式 PRINT “提示内容” ;表达式 说明:①输出语句的作用是实现算法的输出结果的功能,可以在计算机的屏幕上输出 常量、变量的值和系统信息.②“提示内容”提示用户输出什么样的信息,用双引号.③ 提示内容与表达式之间用分号“; ”隔开. ④要输出表达式中的字符,需要用双引号“” , 如:PRINT “提示内容:; ”“a+2” ,这时屏幕上将显示:提示内容:a+2. 例如,下面的语句可以输出斐波那契数列:

PRINT“The Fibonacci Progression is:”;1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “?” 这时屏幕上将显示:

The Fibonacci Progression is: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ? 例 2:

(课本第 23 页例 2) 分析:补充写出屏幕上显示的结果. 3.赋值语句的一般格式 变量=表达式 说明:①赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量.②赋值语句中的“=”叫做 赋值号,它和数学中的等号不完全一样;赋值号的左右两边不能对换,赋值语句是将赋 值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量,如 a=b 表示用 b 的值代替变量 a 原先的 值.③格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式,如果“表达式”是一个算式 时,赋值语句的作用是先计算出“=”右边表达式的值,然后将该值赋给“=”左边的变 量,如若 a=1,b=2,c=a+b 是指先计算 a+b 的值 3 赋给 c,而不是将 a+b 赋给 c. 例 3:

(课本第 25 页例 3) 教学资料 分析:先画出程序框图,重点分析“A=A+15”. 例 4:

(课本第 15 页例 4) 分析:先画出程序框图. 4. 输入语句、输出语句和赋值语句之间的区别 (1)输入语句和赋值语句的区别:输入语句是外部直接给程序中变量赋值;赋值语句 是程序内部运行时给变量赋值,先计算右边的表达式,得到的值赋给左边的变量. (2)输入语句和输出语句的区别:输入语句是外部直接给程序中变量赋值;输出语句 是程序运行的结果输出到外部,先计算表达式,得到结果输出. 三、课堂练习 1. (课本第 24 页练习 1) (要求:先画出程序框图) 2. (课本第 24 页练习 2) (要求:先画出程序框图) 3. (课本第 24 页练习 3) 4. (课本第 24 页练习 4) (要求:先画出程序框图) 5. (课本第 33 页习题 1.2A 组第 1 题) 6. 四、课堂小结 1. 理解输入语句、输出语句和赋值语句的一般格式,注意标点符号的使用以及数学符号 的表示和数学式子的表示; 2. 赋值语句与数学中等号的区别. 3. 编写一个程序的步骤:首先用自然语言描述问题的一个算法,然后把自然语言转化为 程序框图,最后把程序框图转化为程序语句. 4. 输入语句和赋值语句的区别:输入语句是外部直接给程序中变量赋值;赋值语句是程 序内部运行时给变量赋值,先计算右边的表达式,得到的值赋给左边的变量. 5. 输入语句和输出语句的区别:输入语句是外部直接给程序中变量赋值;输出语句是程 序运行的结果输出到外部,先计算表达式,得到结果输出. 五、作业 1.(课本第 33 页习题 1.2A 组第 2 题) 2. 编写一个程序,给任意三个变量 a、b、c 赋值,求 b ? 4ac 的值. 2 3. 已知直线方程为 Ax ? By ? C ? 0 ( AB ? 0) ,试编写一个程序,要求输入符合条件的 A、B、C 的值,输出该直线在 x 轴、 y 轴上的截距和斜率. 4. 编写一个程序,任意输入五个数,并在每加一个数时输出当时的累加和. 教学资料 1.2 基本算法语句(共 3 课时) (有条件在电脑室上) 1.2.2 条件语句(第 2 课时) 【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语 句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本 思想 【教学目标】1.理解、掌握条件语句; 2.能运用条件语句表达解决具体问题的过程; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力,进一步体会算法思想. 【教学重点】条件语句的表示方法、结构和用法 【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,条件语句的逻辑关系 【教学过程】 一、回顾知识 1. 什么是条件结构?画出其程序框图. 2.练习:写出解不等式 ax ? b (a ? 0) 的一个算法,并画出程序框图. 二、条件语句 1. 把回顾练习中的程序框图转化为程序语句. INPUT “a=” ;a 教学资料 INPUT “b=” ;b IF a>0 THEN PRINT “不等式的解为:

x ? ” ;a/b ELSE PRINT “不等式的解为:

x ? ” ;a/b END IF END 2. 条件语句的一般格式 (1)IF—THEN—LESE 形式 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 说明:①当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就 执行 THEN 后的语句,否则执行 ELSE 后的语句.②书写时一个条件语句中的 IF 与 END IF 要对齐. 否 满足条件? 是 语句 1 语句 2 否 满足条件? (2)IF—THEN 形式 IF 条件 THEN 语句 END IF 是 语句 说明:当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执 行 THEN 后的语句,否则直接结束该条件语句. 三、知识应用 练习 1:

已知函数 f (x) ? 都得到相应的函数值. 例 1:

(课本第 25 页例 6)编写程序,输入一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的系数,输出 2 x2 ? x ?1 ( x ? 2 ) x ?1 ( x ? 2) 编写一个程序, 对每输入的一个 x 值, 它的实数根. 教学资料 分析:首先画出程序框图,再转化为程序语句;解释平方根与绝对值 BASIC 语言 的表示;注意两重条件的表示方法. 例 2:

(课本第 27 页例 7)编写程序,使得任意输入的 3 个整数按从大小的顺序输出. 分析:首先画出程序框图,再转化为程序语句. 四、课堂练习 1. (课本第 29 页练习 1) 2. (课本第 29 页练习 2) 3. (课本第 29 页练习 3) (要求:先画出程序框图) 4. (课本第 29 页练习 4) (要求:先画出程序框图) 5. 五、课堂小结 1.理解条件语句的两种表达形式以及何时用格式 1、何时用格式 2. 2.注意多个条件的语句表达方法:如(a+b>c) AND (b+c>a) AND (a+c>b). 3.条件语句的嵌套,注意 END IF 是和最接近的匹配,要一层套一层,不能交叉. 3.编写一个程序的步骤:

首先用自然语言描述问题的一个算法, 然后把自然语言转化 为程序框图,最后把程序框图转化为程序语句. 六、作业 1.(课本第 23 页习题 1.2A 组第 3 题) 2.(课本第 24 页习题 1.2B 组第 2 题) 3. 某市电信部门规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过 3 分钟,则收取通话费 0.2 元;如果通话 超过 3 分钟,则超过部分以 0.1 元/分钟收取通话费.问:设计一个计算通话 费用的算法,并且画出程序框图以及编出程序. 4. 编写一个程序,任意输入一个整数,判断它是否是 5 的倍数. 5. 基本工资大于或等于 600 元,增加工资 10%;若小于 600 元大于等于 400 元,则增加 工资 15%;若小于 400 元,则增加工资 20%. 请编一个程序,根据用户输入的基本工资, 计算出增加后的工资. 6. 教学资料 1.2 基本算法语句(共 3 课时) (有条件在电脑室上) 1.2.3 循环语句(第 3 课时) 【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语 句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本 思想 【教学目标】1.理解、掌握循环语句; 2.能运用循环语句表达解决具体问题的过程; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力,进一步体会算法思想. 【教学重点】循环语句的表示方法、结构和用法 【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,当型循环和直到型循环的 格式与逻辑的区别与联系. 【教学过程】 一、回顾知识 1. 什么是循环结构?画出其程序框图. 教学资料 2. 引例:

(课本第 13 页例 6)设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图. 分析:由程序框图转化为程序语句,引入循环语句. 二、循环语句 1. 当型(WHILE 型)语句的一般格式:

WHILE 条件 循环体 WEND 说明:

当计算机遇到 WHILE 语句时, 先判断条件的真假, 如果条件符合, 就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这 个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止.这时,计算机将不执行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句.因此,当型循环有时也称为“前测试型” 循环. 循环体 2. 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式:

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 说明:当计算机遇到 UNTIL 语句时,先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体,然后 判断条件是否成立,如果不成立,执行循环体.这个过程反复执行,直到某一次符合条件 为止,这时不再执行循环体,跳出循环体执行 LOOP UNTIL 后面的语句. 因此,直到型 循环有时也称为“后测试型”循环. 3.当型循环与直到型循环的区别:

①当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断. ②当型循环用 WHILE 语句,直到型循环用 UNTIL 语句. ③对同一算法来说,当型循环和直到循环的条件互为反条件. 三、知识应用 练习 1:编写程序,计算函数 f ( x) ? x ? 3x ? 5 当 x ? 1,2,3,?,20 时的函数值. 2 循环体 满足条件? 否 是 满足条件? 是 否 例 1:设计一个算法,求 1 ? 序框图并编程. 1 1 1 的和(其中 n 的值由键盘输入) ,画出程 ? ??? 3 5 2n ? 1 教学资料 例 2:把课本第 7 页的程序框图转化为程序语句. 练习 2:

(课本第 32 页练习 1) 练习 3:

(课本第 32 页练习 2) 练习 4:某玩具厂 2004 年的生产总值为 200 万元,如果年生产增长率为 5%,试编一个程 序,计算最早在哪一年生产总值超过 300 万元. 练习 5:

四、课堂小结 1. 理解、掌握当型循环和直到型循环的逻辑与格式的区别与联系. 2. 当型、直到型循环条件的构造,循环体的确定. 3. 由程序框图转化为程序语句时,条件结构和循环结构的区别. 4. 编写一个程序的步骤:首先用自然语言描述问题的一个算法,然后把自然语言转化为 程序框图,最后把程序框图转化为程序语句. 五、作业 1.(课本第 33 页习题 1.2A 组第 1 题) 2.(课本第 33 页习题 1.2A 组第 2 题) 3.(课本第 33 页习题 1.2A 组第 3 题) 4.(课本第 33 页习题 1.2B 组第 1 题) 1.3 算法案例(共 3 课时) 练习 6: 辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法(第 2 课时) 【课程标准】通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展 的贡献. 【教学目标】1.理解辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法; 2.能对辗转相除法、更相减损术和秦九韶进行算理分析,学会应用算法解 题; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力,进一步体会算法思想. 【教学重点】辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法的算理分析 【教学难点】辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法的算理分析 【教学过程】 一、回顾知识 教学资料 1.什么是顺序结构,及其程序框图;输入、输出语句与赋值语句的一般格式. 2.什么是条件结构,及其程序框图;条件语句的一般格式. 3.什么是循环结构,及其程序框图;循环语句的一般格式. 二、辗转相除法 练习 1:求 18 与 30 的最大公约数. 例 1:求 8251 与 6105 的最大公约数. 分析:引入辗转相除法. 1. 辗转相除的原理. 简单分析 2. 辗转相除法的算法分析. 用较大的数除以较小的数,得到除式 m ? nq ? r (0 ? r ? n) ,直到 r ? 0 . 课本第 26 页的图是直到型循环,还可以用当型循环. 直到型循环程序:

当型循环程序:

INPUT “m=”;m INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n INPUT “n=”;n IF m<n THEN IF m<n THEN t=m t=m m=n m=n n=t n=t END IF END IF DO r=m MOD n r=m MOD n m=n WHILE r<>0 教学资料 n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT “m 与 n 的最大公约数:;m ” END m=n n=r r=m MOD n WEND PRINT “m 与 n 的最大公约数:;n ” END 三、更相减损术 算法分析:比较两个数的大小,较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的 数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就 是所求的最大公约数. 当型循环程序:

INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m<n THEN t=m m=n n=t 教学资料 END IF r=m-n WHILE n<>r IF n<r THEN t=n n=r r=t END IF m=n n=r r=m-n WEND PRINT “m 与 n 的最大公约数:;n ” END 例 2:

(课本第 27 页例 1) 例 3:求 72 与 196 的最大公约数. (说明当两个数学都是 2 的倍数时,更相减损术求最大公约数的方法) 练习 2:

(课本第 36 页练习 1) 四、秦九韶算法 算法分析:

(课本第 27 页) 例 3:

(课本第 38 页例 2) 练习 3:

(课本第 45 页练习 1、2) 五、课堂小结 理解、掌握辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法的原理、作用以及算法分析,进 一步体会算法思想. 学会应用算法解体. 六、作业 1.(课本第 48 页习题 1.3A 组第 1 题) 2.(课本第 48 页习题 1.3A 组第 2 题) 3. 设计一个算法,输出 1000 以内(包括 1000)能被 3 和 5 整除的所有正整数,并画出 算法的程序框图以及编程. 4. 全班一共 40 个学生,设计算法流程图,统计班上数学成绩优秀(100 ? 分数 ? 85)的 学生人数,计算出全班同学的平均分. 教学资料 1.3 算法案例(共 3 课时) 排序与割圆术(第 2 课时) 【课程标准】通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展 的贡献. 【教学目标】1.理解、掌握排序;了解割圆术; 2.能运用直接插入排序法和冒泡排序法对一些数据进行排序; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力,进一步体会算法思想. 【教学重点】排序的算法分析及其应用 【教学难点】冒泡排序法以及割圆术的理解 【教学过程】 教学资料 一、排序 1. 直接插入排序 直接插入排序的算法分析:先将前两个数按要求的顺序排好,然后把第 3 个数与这两 个排好的数进行大小比较,按其大小关系将第 3 个数插到已排好的两个数中的适当位置, 使之符合要求,然后再将第 4 个数按同样的方法插到已排好序的三个数中恰当的位置上, 依次下去,直到把最后一个数插到前边已排好的数中合适的位置为止. 直接插入排序法是一种从部分到全体,从局部到整体的排序方法. 例 1:对 8,3,2,5,9,6 从小到大进行排序. 2. 冒泡排序 冒泡排序的算法分析:把整个排序过程划分为若干趟,每一趟都是从第 1 个数开始把 它与和它相邻的下一个数进行大小比较,若符合规定的顺序要求,这两个数位置不变, 否则调整这两个数的位置,直到比较完最后两个数,然后再进行下一趟,直到某一趟中 排序交换次数为 0,说明排序已经完成. 例 2:

(课本第 46 页例 3)用冒泡法对数据 7,5,3,9,1 从小到大进行排序. 说明:规范运用直接插入排序法和冒泡排序法对一些数据进行排序的解题步骤. 练习 1:试用两种排序方法将以下 8 个数:7,1,3,12,8,4,9,10,按照从大到小的 顺序进行排序. 二、割圆术 1.割圆术的原理 简单分析 2.割圆术的算法分析 三、课堂小结 1. 理解直接插入排序法和冒泡排序法的算法原理, 在运用直接插入排序法和冒泡排序法 对一些数据进行排序时,注意表达的格式. 2. 通过排序与割圆术两个案例的分析,进一步体现算法思想. 四、作业 1. 火车站对乘客退票收取一定的费用,具体办法是:按票价每 10 元(不足 10 元按 10 元计算)核收 2 元;2 元以下(包括 2 元)的票不退. 试画出票价为 x 元的车票退掉后, 返还的金额 y 元的算法的程序框图. 教学资料 进位制(第 3 课时) 【课程标准】通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展 的贡献. 【教学目标】1.应用类比的方法理解 k 进制的有关概念(与学生熟悉的十进制类比) ; 2.通过实例分析 k 进制与其他进制的互化,让学生归纳到一般的情形. 【教学重点】十进制与其它进制的互化 【教学难点】十进制化为其它进制 教学资料 【教学过程】 一、进位制的有关概念 1. 进位制 2. 基数 3. k 进制的表示 二、十进制与其它进制的互化 1.把 k 进制的数化为十进制的数的方法是:先把这个 k 进制的数写成各位上的数字与 k 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 2.把十进制的数化为 k 进制的数的方法,即除 k 取余法:用 k 连续去除该十进制数或所 得的商,直到商为零为止,然后把每次所得的余数倒着排成一个数,就是相应的 k 进制 数. 三、知识应用 例 1:

(课本第 41 页例 3)把二进制数 110011(2)化为十进制数. 例 2:

(课本第 35 页例 5)把 89 化为二进制数. 例 3:

(课本第 35 页例 6)把 89 化为五进制数. 练习 1:把二进制数 101101101(2)化为十进制数. 练习 2:把二进制数 101101101(2)化为八进制数. 例 4、设计一个算法,把 k 进制的数 a(共有 n 位)化为十进制数 b 四、课堂小结 1. k 进制的数与十进制的数互化的方法; 2. k 进制的数之间互化时,先化为十进制的数,再化为其它进制. 五、作业 1.(课本第 38 页习题 1.3A 组第 4 题) 2. 求底面边长为 4,侧棱长为 5 的正四棱锥的体积.为该问题设计一个算法并分别画出程 序框图. 3.(课本第 40 页复习参考题 A 组第 3 题) 4.(课本第 40 页复习参考题 A 组第 5 题) 算法初步复习课(1 课时) 【教学目标】1.回顾算法的概念以及三种基本逻辑结构; 2.掌握三种基本逻辑结构的应用; 3.掌握条件结构与循环结构互相嵌套的应用. 【教学重点】三种基本逻辑结构的应用 【教学难点】条件结构与循环结构互相嵌套的应用 教学资料 【教学过程】 一、算法的基本概念 1. 算法定义描述:在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某 一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内 完成. 2. 算法的特性:

①有穷性:一个算法的步骤序列是有限的,它应在有限步操作之后停止,而不能是无 限的. ②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不 应当是模棱两可. ③可行性:算法中的每一步操作都必须是可执行的,也就是说算法中的每一步都能通 过手工和机器在有限时间内完成. ④输入:一个算法中有零个或多个输入.. ⑤输出:一个算法中有一个或多个输出. P3 例 1:任意给定一个大于 1 的整数 n ,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判 定. 解:算法如下:

第一步:判断 n 是否等于 2. 若 n ? 2 ,则 n 是质数;若 n ? 2 ,则执行第二步. 第二步:依次从 2~( n ? 1 )检验是不是 n 的因数,即整除 n 的数.若有这样的数, 则 n 不是质数;若没有这样的数,则 n 是质数. 二、三种基本逻辑结构 1. 顺序结构 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成. 输入语句:INPUT “提示内容” ;变量 输入 语句 输出 输出语句:PRINT “提示内容” ;表达式 赋值语句:变量=表达式 P15 例 4:交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值. 解:算法如下:

程序框图:

开始 输入 A,B x=A 教学资料 第一步:输入 A,B 的值. 第二步:把 A 的值赋给 x. 第三步:把 B 的值赋给 A. 第四步:把 x 的值赋给 B. 第五步:输出 A,B 的值. 程序如下:

INPUT “A=,B=” ;A,B x=A A=B B=x PRINT A,B END 2. 条件结构 根据条件判断,决定不同流向. (1)IF—THEN—LESE 形式 IF 条件 THEN 语句 1 LESE 语句 2 END IF (2)IF—THEN 形式 IF 条件 语句 END IF THEN 满足条件? 是 语句 1 语句 2 满足条件? 是 语句 否 否 P19 例 6:编写程序,使得任意输入的 3 个整数按大到小的顺序输出. 3. 循环结构 从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤. (1)当型(WHILE 型)循环:

WHILE 条件 满足条件? 否 循环体 是 教学资料 循环体 WEND (2)直到型(UNTIL 型)循环:

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 循环体 满足条件? 是 否 P9 例 5:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图 三、基本方法 1. 编写一个程序的三个步骤:

第一步:算法分析:根据提供的问题,利用数学及相关学科的知识,设计出解决问题 的算法; 第二步:画出程序框图:依据算法分析,画出对应的程序框图; 第三步:写出程序:耕具程序框图中的算法步骤,逐步把算法用相应的程序语句表达 出来. P15 例 4:交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值. 2. 何时应用条件结构? 当问题设计到一些判断,进行分类或分情况,或者比较大小时,应用条件结构;分成 三种类型以上(包括三种)时,由边界开始逐一分类,应用多重条件结构.注意条件的边 界值. 如:

(题目条件有明显的提示) (1)编写一个程序,任意输入一个整数,判断它是否是 5 的倍数. (2)编写求一个数是偶数还是奇数的程序,从键盘上输入一个整数,输出该数的奇 偶性. (3)编写一个程序,输入两个整数 a,b,判断 a 是否能被 b 整除. (4)某市电信部门规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过 3 分钟,则收取通 话费 0.2 元;如果通话 超过 3 分钟,则超过部分以 0.1 元/分钟收取通话费.问:设计一个 计算通话费用的算法,并且画出程序框图以及编出程序. 教学资料 (5)基本工资大雨或等于 600 元,增加工资 10%;若小于 600 元大于等于 400 元, 则增加工资 15%;若小于 400 元,则增加工资 20%. 请编一个程序,根据用户输入的基 本工资,计算出增加后的工资. (6)闰年是指年份能被 4 整除但不能被 100 整除,或者能被 400 整除的年份. 如:

(题目隐藏着需要判断、分类或比较大小的过程等) (7) (课本第 11 页例 5)编写程序,输入一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的系数,输 出它的实数根. (8) (课本第 27 页例 7)编写程序,使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出. 3. 何时应用循环结构? 当反复执行某一步骤或过程时, 应用循环结构.当型循环是先判断条件, 条件满足十执 行循环体,不满足退出循环;直到型循环是先执行循环体,再判断条件,不满足条件时 执行循环体,满足时退出循环.当循环体涉及到条件是否有意义时,只能用当型循环(如 图 1) ;当条件用到循环体初始值时,只能用直到型循环(如图 2). i ? i ?1 p? p? 1 i s ? i2 i ? i ?1 s ? 2005 否 i?0 否 是 是 应用循环结构前:①确定循环变量和初始条件;②确定算法中反复执行的部分,即 循环体;③确定循环的终止条件. 如:

(题目条件有明显的提示) (1)设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图. 教学资料 (2)设计一个算法,计算函数 f ( x) ? x ? 3x ? 5 当 x ? 1,2,3,?,20 时的函数值,并画 2 出程序框图. (3)如果我国工农业产值每年以 9%的增长率增长,问几年后我国产值翻一翻,试用程 序框图描述其算法. (4)设计一个算法,输出 1000 以内(包括 1000)能被 3 和 5 整除的所有正整数,并画 出算法的程序框图以及编程. (5)全班一共 40 个学生,设计算法流程图,统计班上数学成绩优秀(100 ? 分数 ? 85) 的学生人数,计算出全班同学的平均分. 如:

(题目隐藏着需要反复执行的过程等) (6)任意给定一个大于 1 的整数 n ,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判定. (7)画出用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根(精确度为 0.005)的程序框图,并写出 2 程序. 四、几个难点 1.条件结构中嵌套着条件结构 (1)编写一个程序,对于函数 f (x) ? 输入 x 的值,输出相应的函数值. (2)基本工资大于或等于 600 元,增加工资 10%;若小于 600 元大于等于 400 元,则增 加工资 15%;若小于 400 元,则增加工资 20%. 请编一个程序,根据用户输入的基本工 资,计算出增加后的工资. 2. 循环结构中嵌套着条件结构 (1)任意给定一个大于 1 的整数 n ,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判定. (2)全班一共 40 个学生,设计算法流程图,统计班上数学成绩优秀(100 ? 分数 ? 85) 的学生人数,计算出全班同学的平均分. (3)画出用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似根(精确度为 0.005)的程序框图,并写出 2 x ( x ? 1) 2 x ? 1 (1 ? x ? 10 ) 3x ? 11 ( x ? 10) 程序. 3. 条件结构中嵌套着循环结构 (1)任意给定一个大于 1 的整数 n ,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判定. 4. 循环结构中嵌套着循环结构 (1)编写一个程序,求 T= 1!+2!+3!+?+20!的值. 教学资料 五、知识应用 1.一城市在法定工作时间内,每小时的工资为 8 元,加班工资每小时 10 元,一人一周内 工作 60 小时,其中加班 20 小时,税金是 10%,写出这个人净得的工资数的一个算法, 并画出程序框图. 2. 已知函数 f (x) ? 得到相应的函数值. x2 ? x ?1 ( x ? 2 ) 编写一个程序,对每输入的一个 x 值,都 x ?1 ( x ? 2) 3. 2000 年我国人口为 13 亿,如果人口每年的自然增长率为 7%,那么多少年后我国人口 将达到 15 亿?请设计一个算法,画出程序框图,并写出程序. 4. 某超市为里促销,规定:一次性购物 50 元以下(含 50 元)的,按原价付款;超过 50 元但在 100 元以下(含 100 元)的,超过部分按九折付款;超过 100 元的,超过部分按 八折付款.设计一个算法程序框图,完成超市的自动计费的工作,要求输入消费金额,输 出应付款.并编写程序. 5. 编写一个程序,任意输入两个正整数 m,n,输出它们所有的公因数. 6. 设计算法的程序框图,输出 2005 以内除以 3 余 1 的正整数,并写出程序. 7. 设计算法的程序框图,求方程 x ? 4 x ? 10 ? 0 在区间 [0,2] 内的解.(精确到 0.0005) 3 教学资料 第二章 课题:§2.0 一.教学任务分析: 随机抽样 (1)通过对具体实例的分析,使学生了解学习统计的意义,能够通过具体实例从实际问 题中提出统计问题.理解随机抽样的必要性和重要性. (2 通过对著名案例的分析,理解样本的代表性与统计推断结论的可靠性之间的关系. 二.教学重点与难点:

教学重点:使学生初步学会从实际问题中提出统计问题, 理解随机抽样的必要性和 重要性,以及样本代表性与统计推断结论的可靠性之间的关系. 教学难点:对什么是“有一定价值的统计问题”的理解. 三.教学基本流程: 阅读章节引言,了解本章学习的内容 ↓ 通过具体实例引导学生应用统计的思想看问题,对具体问题提出统计问题 ↓ 了解样本估计总体的必要性,样本代表性与统计推断结论的可靠性之间的 关系 ↓ 巩固练习,小结、作业 四.教学情境设计: 1.创设情景,揭示课题 介绍章头图,了解“本章学习的内容是什么” 2.从统计的角度看问题 问题 1:如何刻画一批袋装牛奶的质量是否合格? (引导学生思考,交流,讨论,教师总结) 刻画一批袋装牛奶的质量是否合格?可以用下面的变量作为衡量产品质量的指标:

(1)袋装牛奶的细菌含量; (2)袋装牛奶的重量; (3)袋装牛奶的蛋白质含量; (4)袋装牛奶的脂肪含量; (5)袋装牛奶的钙含量; ????? 教学资料 问题 2:

“一批袋装牛奶的细菌含量是否超标”这一问题中蕴涵的总体是什么? (个体是一袋袋装牛奶,总体是这批袋装牛奶) 问题 3:

“一批袋装牛奶的细菌含量是否超标”这一问题是通过什么变量来表达的? (袋装牛奶的细菌含量) 类似于“一批袋装牛奶的细菌含量是否超标”这样的问题称为统计问题. 3.统计问题的特点 为了检验一批袋装牛奶的质量是否合格,我们从细菌含量的角度提出了统计问题:

“一 批袋装牛奶的细菌含量是否超标”? 你认为统计问题有什么特点? (1)明确的总体.如上述问题中的“一批袋装牛奶”(2)问题由所要研究的变量 ; 构成。如上述问题中研究的变量是“袋装牛奶的细菌含量”. 问题 4:在检验一批袋装牛奶的质量是否合格的问题中,你能够用其他的变量提出统 计问题吗? (袋装牛奶的重量是否达标;袋装牛奶的蛋白质含量是否达标;袋装牛奶的脂肪含量 是否达标;袋装牛奶的钙含量是否超标;袋装牛奶的重量,蛋白质含量,,脂肪含量,钙含量 是否都达标等) 4.抽样的意义 问题 5:通过普查和抽样调查来了解“一批袋装牛奶的细菌含量”各有什么优缺点? 应该采用哪种方法? 普查的优点:在不出错的情况下,可以得到这批袋装牛奶的细菌含量的真实数据。

弊病:

(1)需要打开每一袋牛奶进行检验,结果使得这批牛奶不能够出售,失去了 调查这批袋装牛奶的质量的意义。

(2)普查需要大量的人力,物力和财力。

(3)当普查的过程中出现数据测量,录入等错误时,也会产生错误的结论。

抽样调查的优点:容易操作,节省人力,物力和财力。

缺点:估计结论有误差。

所以,一般采用抽样调查来了解产品质量指标。

问题 6:为什么说一个好的抽样调查胜过一次蹩脚的普查?你能举出用样本估计总 体的例子吗? 引导学生应用前面的实例说明。

问题 7:要对一批袋装牛奶的细菌含量作出正确判断,对样本的要求是什么? 样本数据能够很好的代表总体数据,即样本应该具有很好的代表性。

问题 8:

“做一锅汤,放完所有的调料后,要品尝汤的味道” ,你如何通过一小勺汤 教学资料 来正确判断 一锅汤的味道? 先搅拌均匀,然后取一小勺汤品尝。

汤中的所有原料相当于总体,这里关心的是“平均味道” (味道相当于变量,统计问 题关心的是变量的平均数) ,每个个体具有特定原料的味道(相当个体变量值) ,小勺中 的原料相当于取出的样本,搅拌均匀的目的是要保证样本中具有的各种味道的原料之比 与总体中的这种比基本相同。即样本和总体含有基本相同的信息。

问题 9:阅读“一个著名的案例” 57) (P ,你认为预测结果出错的原因是什么? 用于统计推断的样本来自少数富人,只能代表富人的观点,不能代表全体选民 的观点。

样本不具有很好的代表性。

5.小结:

(1)如何提出统计问题? (2)抽样调查和普查各有什么优缺点? (3)样本的代表性和统计推断结论之间的关系是什么? 6.课后作业:

作业本相应习题 教学资料 课题:§2.1 一.教学任务分析: 简单随机抽样 (1)以探究具体问题为导向,引入简单随机抽样的概念,引导学生从现实生活或其他学 科中提出具有一定价值的统计问题;在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样 的方法从总体中抽取样本. (2 正确理解简单随机抽样的概念, 掌握抽签法及随机数法的步骤, 并能灵活应用相关知 识从总体中抽取样本. (3)通过对现实生活中实际问题进行简单随机抽样, 感知应用数学知识解决实际问题的方 法. 二.教学重点与难点:

教学重点:简单随机抽样的概念,抽签法及随机数法的操作步骤. 教学难点:对样本随机性的理解. 三.教学基本流程: 以探究具体问题为导向,引入简单随机抽样的概念 ↓ 抽签法 ↓ 随机数法 ↓ 巩固练习,小结、作业 四.教学情境设计: 1.创设情景,揭示课题 问题 1:假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼 干进行卫生达标检验,你准备怎样做? 教师引导学生交流讨论,提出检验的方法:

(1) 采用普查方法如何? (2) 采用抽查方法如何?你如何获取有代表性的样本. 问题 2:

假设你作为一名食品卫生工作人员, 要对某食品店内的大包装箱内的小包装 饼干进行卫生达标检验,你准备怎样做? 显然,你只能从中抽取一定数量的小包装饼干作为检验的样本.那么,应当怎样获 取样本呢? 教学资料 2.简单随机抽样的概念 一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n ≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法 叫做简单随机抽样(simpie random sampling).这样抽取的样本,叫做简单随机 样本. 思考 1:下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么? (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本. (2)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中, 从中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子. 思考 2:概括简单随机抽样的特点 (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的. (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N. (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的. (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样. (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N. 3.抽签法 (1)把总体中的所有 N 个个体编号(从 0~N-1);

(2)准备 N 个号签把号码分别写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后, 每次从中抽取一个号签,不放回地连续抽取 n 次;

(3)将取出的 n 个号签上的号码所对应的 n 个个体作为样本. 即:抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一 个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一 个容量为 n 的样本. 抽签法的操作步骤概括为:个体编号,搅拌均匀,逐个抽取. 思考 3:你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? 优点:每个个体入选样本的机会都相等. 缺点:

(1)当总体中的个体数很多时,制作号签的成本将会增加,使抽签法的成本 高(费时,费力)(2)号签很多时,把它们“搅拌均匀”就比较困难,结果 。

很难保证每个个体入选样本的可能性都相等,从而使产生坏样本(代表性差 的样本)的可能性增加. 探究:

“抽签法为什么能保证每个个体入选样本的机会都相等?” 教师准备道具:让学生通过抽签实验来验证:即通过特定的数的入选频率来体会这个 结论. 教学资料 4.随机数法 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数法.这里仅 介绍随机数表法. 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明. 假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中 抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行. 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799. 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明, 下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行). 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 17 37 93 23 78 87 35 20 77 04 74 47 67 21 76 33 98 10 50 71 75 12 86 73 52 42 07 44 38 15 51 00 49 17 46 09 62 90 52 84 96 50 58 13 77 43 25 07 42 27 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28 第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) , 得到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读, 得到 916, 由于 916>799, 将它去掉, 按照这种方法继续向右读, 又取出 567, 199, 507, ?, 依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出,这样我们就得到一个容量为 60 的样本. 随机数表法操作的步骤:个体编号,任选一数,依次取号. 5.应用举例 例 1:人们打牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时, 对任何一家来说, 都是从 52 张牌中抽取 13 张牌, 问这种抽样方法是否是简单随机抽样? 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起 始张,其他各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽 样. 例 2:某班有 60 名学生,要从中随机抽取 10 人参加某项活动,如何采用简单随机抽 样的方法抽取样本?写出抽样过程. 简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法. 解法 1:

(抽签法)将 60 名学生编号为 01,02,?,60,并做好大小、形状相同的 号签,分别写上这 60 个数,将这些号签放在一起,进行均匀搅拌,接着连续不放回地抽 取 10 个号签,这 10 个号签对应的人为所选. 解法 2:

(随机数表法)将 60 名学生编号为 00,01,?60,在随机数表中选定一个 起始位置,如取第 21 行第 1 个数开始,选取 10 个为 34,30,13,55,40,44,22, 26, 04, 教学资料 33. 这 10 个号签对应的人为所选.. 6.课堂练习 P57 练习 7.课堂小结 1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.常用的简单随机抽样方法有抽签法和 随机数法. 2.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如 果标号的签搅拌得不均匀,有可能产生坏样本.随机数表法的优点与抽签法相同,缺点是 当总体容量较大时,仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体 容量较少的抽样类型. 3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等. 8.课后作业:

作业本 B. P13—— P14 教学资料 课题:§2.1.2 一.教学任务分析: 系统抽样 (1)以探究具体问题为导向,引入系统抽样的概念,引导学生从现实生活或其他学科中 提出具有一定价值的统计问题;在解决统计问题的过程中,学会用系统抽样的方法从 总体中抽取样本. (2 正确理解系统抽样的概念,掌握系统抽样的步骤,并能灵活应用相关知识从总体中抽 取样本. (3)通过对现实生活中实际问题进行系统抽样,感知应用数学知识解决实际问题的方法. 二.教学重点与难点:

教学重点:系统抽样的概念,系统抽样的操作步骤. 教学难点:对样本随机性的理解. 三.教学基本流程: 以探究具体问题为导向,引入系统抽样的概念 ↓ 系统抽样法 ↓ 系统抽样应用 ↓ 巩固练习,小结、作业 四.教学情境设计: 1.创设情景,揭示课题 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 名学生中 抽取 50 名进行调查, 除了用简单随机抽样获取样本外, 你能否设计其他抽取样本的方法? 方法:可以将这 500 名学生从 1 开始进行编号,然后按号码顺序以一定的间隔进行抽 取. 由于 个号码,假若抽到的是 6 号,然后从第 6 号开始,每隔 10 个抽取一个,得到 6,16,26,36,?,496. 这样得到一个容量为 50 的样本,这种抽样方法是一种系统抽样. 500 ? 10 ,这个间隔可以定为 10,即从号码为 1~10 的第一个间隔中随机地抽取一 50 教学资料 2.系统抽样 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,我们可以按下列步骤进行系统抽 样: (1) 先将总体的 N 个个体编号,有时可直接利用个体自身所带的号码,如学号,准考证号, 门牌号等;

(2)确定分段间隔 k,对编号进行分段.当 不是整数时,应先从总体中随机剔除几个个体,以获得整数间隔 k.) (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 L(L≤k);

(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(L+k),在加 k 得到第 3 个个体编号(L+2k),依次进行下去,直到获取整个样本. 系统抽样的操作步骤是:个体编号,确定间隔,随机选一,等距抽取. 3.应用举例 例 1.某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,??,295,为了了解学生的学 习情况,要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. [分析]按 1:5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:按照 1:5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生, 依次下去,59 组是编号为 291~295 的 5 名学生.采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名 学 生 中 抽 出 一 名 学 生 , 不 妨 设 编 号 为 k(1 ≤ k ≤ 5) , 那 么 抽 取 的 学 生 编 号 为 k+5L(L=0,1,2,??,58),得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8, 13,??,288,293. 例 2.从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实 验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能 是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5 B.3,13,23,33,43 D.2,4,6,16,32 N N (n 是样本容量)是整数时,取 k ? ;(当 n n N n [ 分 析 ] 用 系 统 抽 样 的 方 法 抽 取 至 的 导 弹 编 号 应 该 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d, 其 中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求,故 选 B. 4.课堂练习 P59. 练习 1. 2. 3 5.小结 教学资料 1.在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统抽 样的步骤为:

(1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预定的规则抽取样本。

2.在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 n 不是整数时,应先从总体 中随机剔除几个个体,以获得整数间隔 k. 6.课后作业:

1.作业本. 2.阅读与思考:广告中的数据的可靠性. N 教学资料 课题:§2.1.3 一.教学任务分析: 分层抽样 (1)以探究具体问题为导向,引入分层抽样的概念,引导学生从现实生活或其他学科中 提出具有一定价值的统计问题;在解决统计问题的过程中,学会用分层抽样的方法从 总体中抽取样本. (2 正确理解分层抽样的概念,掌握分层抽样的步骤,并能灵活应用相关知识从总体中抽 取样本. (3)通过对现实生活中实际问题进行分层抽样,感知应用数学知识解决实际问题的方法. 二.教学重点与难点:

教学重点:分层抽样的概念,分层抽样的操作步骤. 教学难点:对样本随机性的理解. 三.教学基本流程: 以探究具体问题为导向,引入分层抽样的概念 ↓ 分层抽样法 ↓ 分层抽样应用 ↓ 简单随机抽样,系统抽样,分层抽样优,缺点比较 ↓ 巩固练习,小结、作业 四.教学情境设计: 1.创设情景,揭示课题 探究: 假设某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,此地区 教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因,要从本地区的中小学生中抽 取 1%的学生进行调查,你认为应当怎样抽取样本? 教师引导学生思考,交流,讨论.----- 教学资料 (1)哪些因素可能影响学生的视力?设计抽样方法时需要考虑这些因素吗? (2)要想样本有好的代表性,就应该在样本中使各年级段的学生都有代表,层中的个 体多,就应该在样本中的个体数目多,如何合理分配各层所取样本数? (3)各层中的样本如何抽取? (4)叙述抽样过程. 教师指出上述实际问题解决的方法就是分层抽样方法. 2.分层抽样 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层 独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方 法叫分层抽样(stratified sampling). 分层抽样的操作步骤:总体分层 ,按照比例, 独立抽取,组成样本 总体分层:按某种特征将总体分成若干部分. 按照比例: 按比例确定每层抽取个体的个数. 独立抽取: 各层分别按简单随机抽样的方法抽取. 综合每层抽样,组成样本. 3. 分层抽样应用举例 例 1:某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数 分别为( D ) A.15,5,25 C.10,5,30 B.15,15,15 D15,10,20 例 2:某班有男生 36 人,女生 24 人,从全班抽取一个容量为 10 的样本,分析某种身体素 质指标,已知这种身体素质指标与性别有关. 问应采取什么样抽样方法?并写出抽 样过程. 解:因为这种身体素质指标与性别有关,所以男生,女生身体素质指标差异明显,因 而采用分层抽样的方法.具体过程如下:

(1)将 60 人分为 2 层,其中男,女生各为一层. (2)按照样本容量的比例随机抽取各层应抽取的样本. 36×1/6=6(人) ,24×1/6=4(人) 因此男,女生各抽取人数分别为 6 人和 4 人. (3)利用简单随机抽样方法分别在 36 名男生中抽取 6 人, 24 名女生中抽取 4 人. (4)将这 10 人组到一起,即得到一个样本. 4. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 教学资料 探究: 简单随机抽样、 系统抽样、 分层抽样各有其特点和使用范围,请对这三种抽样 方法进行比较,说说它们的优点和缺点. 教师引导学生交流,讨论,归纳总结. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较 类 别 简 单 随 机 抽 样 共同点 (1) 抽样过程中每个 个体被抽到的可 能性相等 (2) 每次抽出个体后 系 统 抽 样 不再将它放回, 即不放回抽样 将总体分成几层, 分 层 抽 样 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部 分,按预先制定的规 则在各部分抽取 联 系 适 用 范 围 总体个 数较少 在起始部分 样时采用简 随机抽样 总体个 数较多 总体由 分层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样 差异明 显的几 部分组 成 分层进行抽取 5.课堂练习 P62.练习 6.课后作业:

1.作业本配套练习. 2.阅读与思考:广告中的数据的可靠性. 教学资料 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2 课时) 一、三维目标:

1、知识与技能 (1) 通过实例体会分布的意义和作用。

(2)在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折 线图和茎叶图。

(3)通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当 地选择上述方法分析样本的分布,准确地做出总体估计。 2、过程与方法 通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法,理解数形结 合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,认识到 数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系。 二、重点与难点 重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。

难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布。 三、教学设想 【创设情境】 在NBA的 2004 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下 ﹕ 甲运动员得分﹕12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分﹕8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲,乙两名运动员哪一位发挥比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、学习的主要 内容——用样本的频率分布估计总体分布(板出课题) 。

【探究新知】 〖探究〗 55 :P 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节 约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标 教学资料 准 a,用水量不超过 a 的部分按平价收费,超出 a 的部分按议价收费。如果希望大部 分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢 ?你认为,为了了较 为合理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生展开讨论) 为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况, 比如月均用水量在哪个范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等。因此采 用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况。

(如课本 P56) 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的 排列方式,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信 息。表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式。

下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占 比例大小的角度,来表示数据分布的规律。可以让我们更清楚的看到整个样本数据 的频率分布情况。

〈一〉频率分布的概念:

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率 分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为:

(1) 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 (2) 决定组距与组数 (3) 将数据分组 (4) 列频率分布表 (5) 画频率分布直方图 以课本 P56 制定居民用水标准问题为例, 经过以上几个步骤画出频率分布直 方图。

(让学生自己动手作图) 频率分布直方图的特征:

(1) 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。

(2) 从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图 后,原有的具体数据信息就被抹掉了。

〖探究〗 :同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也 会不同。不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的 判断,分别以 0.1 和 1 为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象?(把学生分 成两大组进行,分别作出两种组距的图,然后组织同学们对所作图不同的看 法进行交流??) 接下来请同学们思考下面这个问题:

〖思考〗 :如果当地政府希望使 85%以上的居民每月的用水量不超出标准,根据频率分 布表 2-2 和频率分布直方图 2.2-1, (见课本 P57)你能对制定月用水量标准提 出建议吗?(让学生仔细观察表和图) 〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义:

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。 教学资料 2.总体密度曲线的定义:

在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线, 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内 取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息。

(见课本 P60) 〖思考〗 :

1.对于任何一个总体,它的密度曲线是不是一定存在?为什么? 2.对于任何一个总体,它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来?为什么? 实际上,尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的,但一般很难想函数图象 那样准确地画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本 容量越大,这种估计就越精确. 〈三〉茎叶图 1.茎叶图的概念:

当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部 分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。

(见课本 P61例子) 2.茎叶图的特征:

(1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加,方便记录与表示。

(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据, 两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。

【例题精析】 〖例 1〗 :下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高 (单位cm) 区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5 (1)列出样本频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图;

(3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分比.。

分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。

解:

(1)样本频率分 布表如下:

分组 频数 频率 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1 教学资料 (2)其频率分布直方图如下: 频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o 122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高(cm) (3)由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19, 所以我们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 〖例 2〗为了了解高一学生的体能 :

频率/组距 情况,某校抽取部分学生进行一分钟 跳绳次数次测试,将所得数据整理 0.036 后,画出频率分布直方图(如图),图 0.032 中从左到右各小长方形面积之比为 0.028 2:4:17:15:9:3,第二小组频数 0.024 为 12. (1) 第二小组的频率是多少?样本容 0.020 量是多少? 0.016 (2) 若次数在 110 以上(含 110 次) 0.012 为达标,试估计该学校全体高一 0.008 学生的达标率是多少? 0.004 (3) 在这次测试中,学生跳绳次数的 中位数落在哪个小组内?请说明 o 90 100 110 120 130 140 150 次数 教学资料 理由。

分析:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与 频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。

解:

(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为: 4 ? 0.08 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3 又因为频率= 第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08 所以 样本容量 ? (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为 17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3 (3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69,前四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。

【课堂精练】 P71 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律, 由于总体分布不易知道, 因此我们往往用样 本的频率分布去估计总体的分布。

2.总体的分布分两种情况:当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布;当总 体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方 法是用频率分布表或频率分布直方图。

【课后作业】 1.作业本配套练习 1.P81 习题 2.2 A 组 1、 2 教学资料 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2 课时) 一、三维目标:

1、知识与技能 (1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差。

(2)能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数、标准差) ,并做出合理的解释。

(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

(4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 2、过程与方法 在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形 结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认 识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 二、重点与难点 重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。

难点:能应用相关知识解决简单的实际问题。

三、教学设想 【创设情境】 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更 好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。— —用样本的数字特征估计总体的数字特征(板出课题) 。

【探究新知】 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗 62 :P (1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”? (2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些统计知 识,思考后展开讨论) 初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为 教学资料 我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问 题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是 2.25t(最高的 矩形的中点) (图略见课本第 62 页)它告诉我们,该市的月均用水量为 2. 25t 的居民数 比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少。

〖提问〗 :请大家翻回到课本第 56 页看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢?根 据众数的定义,2.25 怎么会是众数呢?为什么?(请大家思考作答) 分析:这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因,而 2.25 是 由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差。

〖提问〗 :那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢? 分析:在样本数据中,有 50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于 中位数。因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等。

由此可以估计出中位数的值为 2.02。

(图略见课本 63 页图 2.2-6) 〖思考〗 :2.02 这个中位数的估计值,与样本的中位数值 2.0 不一样,你能解释其中的原 因吗?(原因同上:样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了) 课本 63 页图 2.2-6)显示,大部分居民的月均用水量在中部(2.02t 左右) ,但是也有少 数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。

〖思考〗 :中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极 端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗?(让学生讨论,并举例) <二>、标准差、方差 1.标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息,可是,有时平均数也会使我们作出对总 体的片面判断。某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176㎝,给我们的 印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高。但是,假如这个平均数是从五十万名中 学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区 所有中学生的身体素质。因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态。

例如,在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4; 乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?如果你是教练,选哪 位选手去参加正式比赛? 我们知道, x甲 ? 7, x乙 ? 7 。 两个人射击的平均成绩是一样的。那么,是否两个人就没有水平差距呢?(观察P66 图2.2-8)直观上看,还是有差异的。很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中, 因此我们从另外的角度来考察这两组数据。

考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平 均数的一种平均距离,一般用 s 表示。 教学资料 样本数据 x1, x2, ? , xn 的标准差的算法:

(1) 、算出样本数据的平均数 x 。

(2) 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差:

xi ? x(i ? 1, 2,? n) (3) 、算出(2)中 xi ? x(i ? 1, 2,? n) 的平方。 (4) 、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。

(5) 、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。

其计算公式为: s? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n ? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据 显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。

〖提问〗 :标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点? 从标准差的定义和计算公式都可以得出:

s 都等于样本平均数。

(在课堂上,如果条件允许的话,可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差 的方法。

) 2.方差 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测量样 本数据分散程度的工具: 2 s2 ? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n 在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般 多采用标准差。

【例题精析】 〖例 1〗 :画出下列四组样本数据的直方图,说明他们的异同点。

(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5 (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6 (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7 (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8 分析:先画出数据的直方图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算 公式即可算出每一组数据的标准差。 教学资料 解:

(图略,可查阅课本P68) 四组数据的平均数都是5.0,标准差分别为:0.00,0.82,1.49,2.83。

他们有相同的平均数,但他们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的。

〖例 2〗(见课本P77) :

分析:

比较两个人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体 的平均数与标准差的大小即可,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分 别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本数据的平均数、标准差,以此作为两 个总体之间的差异的估计值。

【课堂精练】 P79 练习 1. 2. 3 【课堂小结】 1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:

a) 用样本平均数估计总体平均数。

b) 用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大,估计就越精确。

2. 平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平。

3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度。

【课后作业】 1.作业本配套练习 1.P81 习题 2.2 A 组 3、5、6、7 教学资料 课 题 :

§ 2 . 3 . 1 变 量 之 间 的 相 关关 系 一.教学任务分析: (1)通过具体示例引导学生考察变量之间的关系,在讨论的过程中认识现实世界中存在 着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变 量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. (3) 在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解统计的作用. 二.教学重点与难点: 教学重点:利用散点图直观认识变量间的相关关系. 教学难点:理解变量间的相关关系. 三.教学基本流程: 通过具体实例说明变量之间的相关关系 ↓ 利用散点图认识变量间的相关性 ↓ 对现实问题中两个有关联变量的相关性作出判断 ↓ 巩固练习,小结、作业 四.教学情境设计: 1.创设情景,揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非 因果关系.比如说:某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数 学是“因” ,物理是“果” ,或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果” ,而真正的 “因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但 还存在着另一种非确定性关系——相关关系. 生活中存在着许多相关关系的问题: 问题 1:商品销售收入与广告支出之间的关系. 教学资料 问题 2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题 3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变 量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系. 相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系. 2.两个变量的线性相关 问题 4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 年 龄 脂 肪 23 9.5 90 27 17.8 39 21.2 41 25.9 45 27.5 49 26.3 50 28.2 53 29.6 54 30.2 56 31.4 57 30.8 58 33.5 60 35.2 61 34.5 根据上述数据,人体的脂肪含量和年龄之间有怎样的关系? 80 学生活动:为了了解人体的脂肪含量和年龄大致关系,我们以横坐标 x 表示年龄,纵坐标 y 表示人体的脂肪含量,建立直角坐标系,将表中数据构成的 14 个数对所表示的点在坐 标系内标出,得到下图,今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 50 60 70 40 30 20 10 -20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -10 从散点图可以看出. 各散点在从左下角到右上角的区域,表明年龄越大, 体内脂肪含量 -20 越高, 图中点的趋势表明两个变量之间存在一定的关系.这种关系称为正相关. 问题 5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某 6 天卖出 热茶的杯数与当天气温的对照表:

气温/ C 杯数 0 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 ?1 64 根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系? 教学资料 学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系,我们以横坐标 x 表示气温,纵坐标 y 表 示热茶销量,建立直角坐标系,将表中数据构成的 6 个数对所表示的点在坐标系内标出, 得到下图, 180 160 140 120 100 80 60 40 20 -20 20 40 60 80 100 120 140 160 -20 -40 从散点图可以看出,各散点在从左上角到右下角的区域里,因此,随着气温的升高, 热茶 销售量逐步减少,图中点的趋势表明两个变量之间存在一定的关系.这种相关关系称为负 相关. 3. 两个变量的线性相关性的判断 例题 1:

下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料, 请判断机动车辆数 与交通事故数之间是否有线性相关关系,说明理由. 机 动 车 辆 数 95 110 112 120 129 135 150 180 x / 千 台 交 通 事 故 数 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 y / 教学资料 千 件 解:在直角坐标系中画出数据的散点图,直观判断散点在一条直线附近,故具有线 性相关关系.正相关. 4.练习:

(1)下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 (2)给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据:

施化肥量 x 15 20 25 30 35 水稻产量 y 330 345 365 405 445 请判断施化肥量对水稻产量是否有影响,说明理由. 王新敞 奎屯 新疆 40 450 45 455 5. 课外作业:

作业本配套练习 教学资料 课题:§2.3.1 线性回归方程(1) 一.教学任务分析: (1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变 量间的相关关系. (2) 了解最小二乘法的含义,知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公 式建立线性回归方程. (3)在两个变量具有线性相关关系时,会在散点图中作出线性回归直线,会用线性回归方 程进行预测. 二.教学重点与难点: 教学重点:回归直线方程的求解方法. 教学难点:回归直线方程的求解方法. 三.教学基本流程: 通过具体实例说明变量之间的相关关系 ↓ 利用散点图认识变量间的相关性 ↓ 对现实问题中两个有关联变量的相关性作出判断 ↓ 巩固练习,小结、作业 四.教学情境设计: 1.创设情景,揭示课题 在上节课,为了了解热茶销量与气温的大致关系. 0 26 18 13 10 气温/ C 杯数 20 24 34 38 4 50 ?1 64 我们以横坐标 x 表示气温,纵坐标 y 表示热茶销量,建立直角坐标系,将表中数据构 成的 6 个数对所表示的点在坐标系内标出,得到散点图. 从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心 的一条直线的附近. 180 160 140 120 100 80 60 40 20 -20 20 40 60 80 100 120 140 160 -20 -40 教学资料 如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间 具有线性相关关系,这条直线叫回归直线. 如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之 间的关系. 2.最小二乘法 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取 (4,50),(18, 24) 这两点的直线; (2)取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同; (3)多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求 直线的斜率、截距; ?????? 怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小. ? 即: 用方程为 y ? bx ? a 的直线拟合散点图中的点,应使得该直线与散点图中的点最接 ? 近.那么,怎样衡量直线 y ? bx ? a 与图中六个点的接近程度呢? ? 我们将表中给出的自变量 x 的六个值带入直线方程,得到相应的六个 y 的值: 26b ? a,18b ? a,13b ? a,10b ? a, 4b ? a, ?b ? a .这六个值与表中相应的实际值应该越 接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和: Q(a, b) ? (26b ? a ? 20) 2 ? (18b ? a ? 24) 2 ? (13b ? a ? 34) 2 ? (10b ? a ? 38) 2 ? (4b ? a ? 50)2 ? (?b ? a ? 64) 2 ? 1286b2 ? 6a 2 ? 140ab ? 3820b ? 460a ? 10172 ? Q(a, b) 是直线 y ? bx ? a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来 ? 衡量直线 y ? bx ? a 与图中六个点的接近程度,所以,设法取 a, b 的值,使 Q(a, b) 达到最小 值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) . 140a ? 3820 时, Q 取得最 2 ?1286 140b ? 460 小值.同理, 把 b 看作常数,那么 Q 是关于 a 的二次函数.当 a ? ? 时, Q 取得 12 先把 a 看作常数,那么 Q 是关于 b 的二次函数.易知,当 b ? ? 140a ? 3820 ? ?b ? ? 2 ?1286 时, 取得最小值, 最小值.因此,当 ? 由此解得 b ? ?1.6477, a ? 57.5568 . Q ? 140b ? 460 ?a ? ? ? ? 12 ? ? 所求直线方程为 y ? ?1.6477x ? 57.5568.当 x ? ?5 时, y ? 66 ,故当气温为 ?5 C 时, 0 热茶销量约为 66 杯. 3.线性回归方程的求解方法 一般地,设有 n 个观察数据如下: x x1 x2 x3 ? xn 教学资料 y y1 y2 2 y3 2 ? 2 yn 当 a, b 使 Q ? ( y1 ? bx1 ? a) ? ( y2 ? bx2 ? a) ? ... ? ( yn ? bxn ? a) 取得最小值时, ? 就称 y ? bx ? a 为拟合这 n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直 线. 上述式子展开后,是一个关于 a, b 的二次多项式,应用配方法,可求出使 Q 为最小 值时的 a, b 的值.即 n n ? ? ? ? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? xi yi ? n x y ? ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n ? ? ?2 1 n 1 n 2 ? ( xi ? x ) xi ? n x ,(*) x ? ? xi , y ? ? y i ? ? ? n i ?1 n i ?1 i ?1 i ?1 ? ? ? ? a ? y? b x ? 线性回归方程是 ? y ? bx ? a ,其中 b 是回归方程的斜率,a 是截距.系数 4.求线性回归方程的步骤:

(1)计算平均数 x, y ; (2)计算 xi 与y i 的积,求 ? x i y i ; (3)计算 ?x 2 i ; b? (4)将结果代入公式 ?x y i ?1 n i n i ?nxy ?nx ?2 ? ? ,求 b; ?x i ?1 2 i (5)用 a ? y ? bx ,求 a; (6)写出回归方程 王新敞 奎屯 新疆 5. 线性回归方程的应用 例题:给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据: 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 王新敞 奎屯 新疆 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 (1)画出上表的散点图;

(2)求出回归直线方程 解:(1)散点图(略) . (2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格 i 1 2 3 4 xi 15 20 25 30 yi 330 345 365 405 xiyi 4950 6900 9125 12150 5 35 445 15575 6 40 450 18000 7 45 455 20475 教学资料 x ? 30, y ? 399 .3 , ?x i ?1 7 2 i ? 7000,? yi2 ? 1132725, ? xi yi ? 87175 i ?1 i ?1 7 7 故可得到 87175 ? 7 ? 30 ? 399 .3 b? ? 4.75, 7000 ? 7 ? 30 2 a ? 399 .3 ? 4.75 ? 30 ? 257 ^ 从而得回归直线方程是 y ? 4.75x ? 257 . 6.小结: 对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系 数 a, b 的计算公式,算出 a, b .写出回归方程 7.课外作业: 王新敞 奎屯 新疆 教学资料 教学资料 教学资料 3.1 随机事件的概率 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时) 一、教学目标: 1、知识与技能:

(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; (2)正确理解事件 A 出现的频率的意义; (3)正确理解概率的概念和意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A) 与事件 A 发生的概率 P(A)的区别与联系; (3)利用概率知识正确理解现实生活中的实 际问题. 2、过程与方法:

(1)发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结 试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高; (2)通过对现实生活中 的“掷币”“游戏的公平性”、 , ,“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学 问题的方法,理解逻辑推理的数学方法. 3、情感态度与价值观:

(1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学 知识与现实世界的联系; (2)培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识. 二、重点与难点:

(1)教学重点:事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系; (2)教学难点:用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 三、学法与教学用具:1、引导学生对身边的事件加以注意、分析,结果可定性地分 为三类事件:必然事件,不可能事件,随机事件;指导学生做简单易行的实验,让学生 无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性;2、教学用具:硬币数枚,投灯片,计 算机及多媒体教学. 四、教学设想: 1、创设情境:日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如,你明天什么 时间起床?7:

在某公共汽车站候车的人有多少?你购买本期福利彩票是否能中奖?等 20 等。

2、基本概念:

(1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4) 随机事件:

在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件, 叫相对于条件 S 的随机事件; 教学资料 (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次 试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= nA 为事 n 件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增 n 多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映 了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事 件的概率 (7)似然法与极大似然法:见课本 P111 3、例题分析:

例 1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”;

(5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” . 答:根据定义,事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能 、 、 、 、 事件;事件(3)(5)(7)(8)是随机事件. 、 、 、 例 2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:

射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455 m n (1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的 频率 fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。

解:

(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。 教学资料 小结:概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。

练习:一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下:

时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约是多少? 答案:

(1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. (2)由表中的已知数据及公式 fn(A)= 1 年内 5544 2883 2 年内 9607 4970 3 年内 13520 6994 4 年内 17190 8892 nA 即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在 n 常数 0.518 上,所以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 例 3 某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次中 10 环,有 3 次环中 9 环,有 4 次 中 8 环,有 1 次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击 1 次,试问中靶的概率 约为多大?中 10 环的概率约为多大? 分析:中靶的频数为 9,试验次数为 10,所以靶的频率为 9 =0.9,所以中靶的概率约为 10 0.9. 解:

此人中靶的概率约为 0.9; 此人射击 1 次, 中靶的概率为 0.9; 10 环的概率约为 0.2. 中 例 4 如果某种彩票中奖的概率为 1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的 1000 意义解释。

分析:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。

解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果 都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中 奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖。

例 5 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释 其公平性。

分析:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发 球权的概率是 0.5。

解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任 何一名运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。

小结:事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的。

4、课堂小结:概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的 意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意 识,并用这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。

5、自我评价与课堂练习: 教学资料 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 2.下列说法正确的是( ) A.任一事件的概率总在(0.1)内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 700 282 1500 639 2000 1339 3000 2715 (1)完成上面表格:

(2)该油菜子发芽的概率约是多少? 4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。 投篮次数 进球次数 m 进球频率 m n (1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少? 5.生活中,我们经常听到这样的议论:

“天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一 点雨都没下,天气预报也太不准确了。

”学了概率后,你能给出解释吗? 6、评价标准:

1.B[提示:正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件。] 2.C[提示:任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1.] 3 . 解 :

( 1 ) 填 入 表 中 的 数 据 依 次 为 1,0.8,0.9, 0.857,0 .892,0 .910,0.913, 0.893,0.903,0.905.(2)该油菜子发芽的概率约为 0.897。

4.解:

(1)填入表中的数据依次为 0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由于上述 频率接近 0.80,因此,进球的概率约为 0.80。

5.解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件 发生的概率,我们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天 没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的。

7、作业:根据情况安排 教学资料 3.1.3 概率的基本性质(第三课时) 一、教学目标:

1、知识与技能:

(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事 件、对立事件的概念; (2)概率的几个基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A) ≤1;2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法:通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生 的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观:通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学 知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习 数学的情趣。 二、重点与难点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。

三、学法与教学用具:1、讨论法,师生共同讨论,从而使加深学生对概率基本性质的 理解和认识;2、教学用具:投灯片 四、教学设计: 1、 创设情境:

(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С {2,3,4,5} 等; (2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:C1={出现 1 点},C2={出现 2 点},C3={出现 1 点或 2 点},C4={出现的点数为偶数}?? 师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算 吗? 2、 基本概念:

(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对 立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 3、 例题分析:

例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环. 教学资料 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事 件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中 一个不发生,另一个必发生。

解:A 与 C 互斥(不可能同时发生) 与 C 互斥,C 与 D 互斥,C 与 D 是对立事件(至 ,B 少一个发生). 例 2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为“出现奇数点” ,B 为“出现偶数点” ,已 知 P(A)= 1 1 ,P(B)= ,求出“出现奇数点或偶数点” . 2 2 分析:抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的 加法公式求解. 解:“出现奇数点或偶数点” 记 为事件 C,则 C=A∪B,因为 A、 是互斥事件, B 所以 P(C)=P(A)+ P(B)= 1 1 + =1 2 2 答:出现奇数点或偶数点的概率为 1 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概 率是 1 1 ,取到方块(事件 B)的概率是 ,问:

4 4 (1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 分析:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥事件的概率和公 式求解,事件 C 与事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1—P(C). 解:

(1)P(C)=P(A)+ P(B)= 1 1 (2)P(D)=1—P(C)= 2 2 例 4 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概 率为 1 5 5 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、 3 12 12 得到黄球、得到绿球的概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为 A、 、 、 、 5 5 ; P(C ∪ D)=P(C)+P(D)= ; P(B ∪ C ∪ 12 12 1 1 1 2 1 D)=1-P(A)=1- = ,解的 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= 3 3 6 4 4 1 1 1 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 、 . 4 6 4 B 、 C 、 D , 则 有 P(B ∪ C)=P(B)+P(C)= 4、 课堂小结:

概率的基本性质:

必然事件概率为 1, 1) 不可能事件概率为 0, 因此 0≤P(A) ≤1;2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 3)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会 教学资料 同时发生,其具体包括三种不同的情形:

(1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与 事 件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生 事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。

5、自我评价与课堂练习:

1.从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数与次品件数, 判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。

(1)恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; 2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点,已知 P (A)= 1 1 ,P(B)= ,求出现奇数点或 2 点的概率之和。

2 6 3.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25, 0.28,计算该射手在一次射击中:

(1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)少于 7 环的概率。

4.已知盒子中有散落的棋子 15 粒,其中 6 粒是黑子,9 粒是白子,已知从中取出 2 粒都 是黑子的概率是 1 12 , 从中取出 2 粒都是白子的概率是 , 现从中任意取出 2 粒恰好是同 7 35 一色的概率是多少? 6、评价标准:

1.解:依据互斥事件的定义,即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知:

(1) 恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们 的并不是必然事件,所以它们不是对立事件,同理可以判断:

(2)中的 2 个事件不是互 斥事件,也不是对立事件。

(3)中的 2 个事件既是互斥事件也是对立事件。

2.解:

“出现奇数点”的概率是事件 A, “出现 2 点”的概率是事件 B, “出现奇数点或 2 点”的概率之和为 P(C)=P(A)+P(B)= 1 1 2 + = 2 6 3 3.解:

(1)该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的 和,即为 0.21+0.23=0.44。

(2)射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环 的概率的和,即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环 的事件为对立事件,所以射中少于 7 环的概率为 1-0.97=0.03。

4.解:从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒白子的概率与 2 粒黑子的 概率的和,即为 1 12 17 + = 7 35 35 7、作业:根据情况安排 教学资料 3.2 古典概型(第四、五课时) 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 一、教学目标:

1、知识与技能:

(1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本 事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式:P(A)= A包含的基本事件个数 总的基本事件个数 (3)了解随机数的概念; (4)利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率。 2、过程与方法:

(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问 题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验, 感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的 辩证唯物主义观点. 二、重点与难点:1、正确理解掌握古典概型及其概率公式;2、正确理解随机数的概 念,并能应用计算机产生随机数. 三、学法与教学用具:1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试 验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. 四、教学设想: 1、创设情境:

(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有 2 个,即“正面朝上”或“反面朝 上” ,它们都是随机事件。

(2)一个盒子中有 10 个完全相同的球,分别标以号码 1,2,3,?,10,从中任取一球, 只有 10 种不同的结果,即标号为 1,2,3?,10。

师生共同探讨:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点? 2、基本概念:

(1)基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本 P121~126; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)= 3、例题分析: A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数 教学资料 课本例题略 例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。

分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。

解:这个试验的基本事件共有 6 个,即(出现 1 点)(出现 2 点)??、 、 (出现 6 点) 所以基本事件数 n=6, 事件 A=(掷得奇数点)=(出现 1 点,出现 3 点,出现 5 点) , 其包含的基本事件数 m=3 所以,P(A)= m 3 1 = = =0.5 n 6 2 小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点:

(1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。

例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不 放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1,a2)和, 1,b2)(a2,a1)(a2,b1)(b1,a1)(b2,a2) (a , , , , 。其中小括号内 左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的 两种中,恰好有一件次品”这一事件,则 A=[(a1,b1)(a2,b1)(b1,a1)(b1,a2)] , , , 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)= 4 2 = 6 3 例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品:

(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析:

(1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解:

(1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能, 所以试验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事 件共有 8×8×8=8 种,因此,P(A)= 3 3 83 =0.512. 10 3 (2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录 (x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10 ×9×8=720 种. 设事件 B 为 件都是正品”则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, “3 , 所以 P(B)= 336 720 ≈0.467. 解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能, 有 9 种可能, 有 8 种可能, (x,y,z) y z 但 , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , 教学资料 (z,y,x) ,是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)= 56 ≈0.467. 120 小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是 无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导 致错误. 例 4 利用计算器产生 10 个 1~100 之间的取整数值的随机数。

解:具体操作如下:键入 PRB RAND RANDI STAT DEC ENTER RANDI(1,100) STAT DEG ENTER RAND (1,100) 3. STAT DEC 反复操作 10 次即可得之 小结:利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中,有着广泛的应用。

例 5 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次 投篮中,恰有两次投中的概率是多少? 分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古 典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为 40%。

解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以生产 0 到 9 之 间的取整数值的随机数。

我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投中 的概率是 40%。因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组。

例如:产生 20 组随机数:

812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表 示恰有两次投中,它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了三 次投篮中恰有两次投中的概率近似为 5 =25%。

20 小结:

(1)利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问 题。 教学资料 (2)对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计 算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间。

(3) 随机函数 RANDBETWEEN (a,b) 产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数。

例 6 你还知道哪些产生随机数的函数?请列举出来。

解:

(1)每次按 SHIFT RNA# 键都会产生一个 0~1 之间的随机数,而且出现 0~1 内任 何一个数的可能性是相同的。

(2)还可以使用计算机软件来产生随机数,如 Scilab 中产生随机数的方法。Scilab 中 用 rand()函数来产生 0~1 之间的随机数,每周用一次 rand()函数,就产生一个随机 数,如果要产生 a~b 之间的随机数,可以使用变换 rand()*(b-a)+a 得到. 4、课堂小结:本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点:

(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

(2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数; ②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)= A包含的基本事件数 总的基本事件个数 (3)随机数量具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我 们自己做大量重复试验,比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分 配到各个考场中。

5、自我评价与课堂练习:

1.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,从中任取一根,取到长度超过 30mm 的 纤维的概率是( ) A. 30 40 B. 12 40 C. 12 30 D.以上都不对 2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉 的概率是 A. 1 5 B. 1 4 C. 4 5 D. 1 10 3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个 球中至少有一个红球的概率是 。

4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率。

5.利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数。

6.用 0 表示反面朝上,1 表正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验。

6、评价标准:

1.B[提示:在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm,即基本事件总数为 40,且它们 是等可能发生的,所求事件包含 12 个基本事件,故所求事件的概率为 12 ,因此选 B.] 40 2.C[提示:

(方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁订 教学资料 (记为事件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)= 8 4 = .(方法 2)本题 10 5 2 4 = .] 10 5 还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A) 与取到不合格品(记为事件 B) 恰为对立事件,因此, P(A) =1-P(B) =1- 3. 7 [提示;记大小相同的 5 个球分别为红 1,红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为:

10 7 .本题还可以利用 “对 10 (红 1,红 2)(红 1,白 1)(红 1,白 2) , , (红 1,白 3)(红 2,白 3) , ,共 10 个,其中至 少有一个红球的事件包括 7 个基本事件, 所以, 所求事件的概率为 立事件的概率和为 1”来求解,对于求“至多” “至少”等事件的概率头问题,常采用间 接法,即求其对立事件的概率 P(A) ,然后利用 P(A)1-P(A)求解]。

4.解:在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现 1 点,2 点,?,6 点 6 种不同的结 果,我们把两颗骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的一个结果,因此同时掷两 颗骰子的结果共有 6×6=36 种, 在上面的所有结果中, 向上的点数之和为 8 的结果有 (2, 6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)5 种,所以,所求事件的概率为 , , , , 5.解:具体操作如下 键入 PRB 5 . 36 PAND RANDI STAT DEG PANDI(1,20) STAT DEG PANDI(1,20) 3. ENTER ENTER STAT DEG 反复按 ENTER 键 10 次即可得到。 6.解:具体操作如下:

键入 PRB PAND RANDI STAT DEG PANDI(0,1) STAT DEG PANDI(0,1) ENTER ENTER 教学资料 7、作业:根据情况安排 3.3 几何概型 3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 一、教学目标:

1、 知识与技能:

(1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式:

P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体积) ; 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) (3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概 型; (4)了解均匀随机数的概念; (5)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (6)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2、 过程与方法:

(1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应 用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2) 通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、 情感态度与价值观:

本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学 习习惯。 二、重点与难点: 1、几何概型的概念、公式及应用; 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 三、学法与教学用具:1、通过对本节知识的探究与学习,感知用图形解决概率问题 的方法,掌握数学思想与逻辑推理的数学方法;2、教学用具:投灯片,计算机及多媒体 教学. 四、教学设想: 1、创设情境:在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结 果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的 时间可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时刻;往一个方格中投一个石子,石子可能 落在方格中的任何一点??这些试验可能出现的结果都是无限多个。 教学资料 2、基本概念:

(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

P(A)= 构成事件A的区域长度(面积或体积) ; 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) (3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每 个基本事件出现的可能性相等. 3、 例题分析:

课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。

(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。

分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几 何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。

解:

(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属 于古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” , 概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概 型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时 间不多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟 之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型 的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个 时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有 关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 时间不多于 10 分钟的概率为 60 ? 50 1 = ,即此人等车 60 6 1 . 6 小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是 等可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概 率。

2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 教学资料 的概率. 1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3 解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油, 假设在海域中任意一 点钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作 构成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。

解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)= 储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000 答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子, 从中随机取出 10 毫升, 则取出 的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事件 的区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。

解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)= 取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000 答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且 每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对 应[0,3]上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在 [1,2]内,也就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3] 内个数之比就是事件 A 发生的概率。

解法 1:

(1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)= N1 即为概率 P(A)的近似值. N 解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转 动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 教学资料 N,则 fn(A)= N1 即为概率 P(A)的近似值. N 小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随 机数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试 验次数不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动 统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律 性有更深刻的认识. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方 形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析:

正方形的面积只与边长有关, 此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M, 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解:

(1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率 N1 . N 记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的 近似值为 fn(A)= N1 . N 4、课堂小结:1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式 时,一定要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均 匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感 兴趣的量(如概率值、常数 )有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来 确定这些量. 5、自我评价与课堂练习:

1.在 500ml 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察,则发现 草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2.平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 3. 某班有 45 个,现要选出 1 人去检查其他班的卫生, 若每个人被选到的机会均等,则恰好选中学生甲主机 会有多大? 4.如图 3-18 所示,曲线 y=-x2+1 与 x 轴、y 轴围成一 个区域 A, 直线 x=1、 直线 y=1、 轴围成一个正方形, x M 2a r o 教学资料 向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机来模拟这个试验,并统计出落在区域 A 内的 芝麻数与落在正方形中的芝麻数。

6、评价标准:

1.C(提示:由于取水样的随机性,所求事件 A:

“在取出 2ml 的水样中有草履虫”的概 率等于水样的体积与总体积之比 2 =0.004) 500 2.解:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A,为了确定硬币的位置,由 硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这样线段 OM 长度 (记作 OM)的取值范围就是[o,a],只有当 r<OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求 事件 A 的概率就是 P(A)= (r , a]的长度 a ? r = [0, a]的长度 a 3.提示:本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完成。

(1)用 1~45 的 45 个数来替代 45 个人; (2)用计算器产生 1~45 之间的随机数,并记录; (3)整理数据并填入下表 试验 次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050 1 出现 的频数 1 出现 的频率 (4)利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。 4.解:如下表,由计算机产生两例 0~1 之间的随机数,它们分别表示随机点(x,y)的坐 标。如果一个点(x,y)满足 y≤-x2+1,就表示这个点落在区域 A 内,在下表中最后一列 相应地就填上 1,否则填 0。 x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 计数 0 1 0 1 1 1 教学资料 ? 0.947386 0.117618 0.516465 0.596393 ? 0.902127 0.305673 0.222907 0.969695 ? 0 1 1 0 7、作业:根据情况安排